Las grúas torre de pluma horizontal son sistemas mecánicos encargados del transporte y posicionamiento de carga pesada dentro de una área de trabajo determinada. Las técnicas modernas de construcción emplean mayores requerimientos tanto de velocidad de transporte y posicionamiento de la carga como de precisión. Sin embargo dados esos requerimientos y considerando la configuración mecánica que presenta este tipo de sistema, se generan oscilaciones indeseadas en la carga aumentando el tiempo de posicionamiento de la misma [1], arriesgando la integridad del sistema [2] y el personal en el área de construcción.

Las grúas torre de pluma horizontal se componen de tres grados de libertad (GDL): rotación, elevación y traslación. Estos GDL son posibles gracias al movimiento en conjunto de subsistemas como la torreta, guaya (cuerda) y carretilla (ver Figs. 1 y 4). Uno de los problemas más comunes en el control manual de una grúa torre son las oscilaciones de la carga producto de perturbaciones externas como (fuerzas eólicas, sismos, etc.) o internas dado cambios de velocidad de la carga debido al movimiento en la carretilla (inercia). Estas perturbaciones obligan al operario a inhabilitar el mecanismo para evitar el aumento en las amplitudes de las oscilaciones en la carga [3]. En este sentido, la aplicación de técnicas de control ha tomado gran importancia en el campo de las grúas-torre para alcanzar requerimientos deseados en términos de desplazamiento de la carga sin generar oscilaciones de alta magnitud.

Las técnicas de control han tomado dos principales direcciones. Por un lado, esquemas de control para generar trayectorias deseadas de la carretilla que a la vez reducen las oscilaciones en la carga [4,5]. Por otro lado, teoría de control enfocada en controlar directamente la oscilación y el posicionamiento de la carga. En esta segunda dirección, investigadores se han centrado en sistemas de control, con los que obtienen movimientos rápidos y precisos en el desplazamiento de la carretilla sin generar oscilaciones considerables en la carga [6,7], sin embargo demandan modelos matemáticos detallados y no utilizan el conocimiento de las perturbaciones a las que está sometido el sistema. Además, se han propuesto esquemas de control no lineal [8-10] cuyas leyes de control resultan ser complejas, son totalmente diseñadas en tiempo continuo y en el caso de [8], se emula la perturbación del viento como una señal que no refleja de forma adecuada las condiciones a las que estaría sometida la carga durante su desplazamiento.

Bajo un enfoque diferente, en [11] se propone un controlador por rechazo activo de perturbaciones (ADRC) para controlar la posición de la carretilla y reducir oscilaciones en la carga. ADRC es una metodología de control para sistemas lineales y no lineales que fue inicialmente propuesta por Prof. Han, y luego adoptada y extendida por Prof. Z. Gao [12,13] la cual plantea estimar las perturbaciones externas e internas del sistema, asumiendo un modelo interno aproximado de la perturbación, para luego rechazarlas en línea mediante la ley de control. Actualmente, ADRC es un campo de fuerte investigación cuyas aplicaciones van desde control de motores [14], control de sistemas de potencia [15], control de robots [16], hasta control de turbinas eólicas [17]; pero muy poco explorado en el control de grúas torre. La aplicación de ADRC en [11] ha mostrado las ventajas de esta técnica, sin embargo aún hay varias desventajas que pueden ser resaltadas, a saber: el esquema de control se propone en tiempo continuo, el modelo interno de la perturbación usado para extender el observador de estados usa un aniquilador que asume que la perturbación es una señal constante, y no se muestra validación experimental de la propuesta de control que verifique la robustez y el desempeño real.

En este artículo, se propone un esquema de control basado en la filosofía del rechazo activo de perturbaciones cuya ley de control es definida en tiempo discreto, donde el conocimiento de la perturbación es mejor explotada al incorporar un aniquilador resonante dentro del observador de estados extendido que sirva para atenuar la oscilación de la carga con mejor desempeño. Además, esta propuesta de control es validada experimentalmente en una grúa-torre a escala, donde se muestra su real desempeño y robustez.

Este artículo está organizado de la siguiente forma. El modelo matemático de una grúa-torre se describe en la sección 2. En la sección 3 se describe y formula la propuesta de control. La sección 4 muestra brevemente otras técnicas de control usadas para propósitos de comparación. El análisis de robustez del esquema de control propuesto se desarrolla y discute en la sección 5. En la sección 6 se presenta la validación experimental de la propuesta de control evaluada sobre una grúa-torre a escala, considerando pruebas de rechazo de perturbaciones y posicionamiento de la carga. Por último, en la sección 7 se presentan las conclusiones del trabajo.

En esta sección, se presenta el modelo matemático de una grúa-torre teniendo en cuenta su parte mecánica y mecatrónica. Inicialmente, la parte mecánica del sistema es abordada con un análisis de LaGrange, obteniendo un modelo no lineal que posteriormente es linealizado dado un punto de equilibrio. Luego, la parte mecatrónica del sistema es agregada al sistema linealizado, para luego discretizar el modelo completo del sistema.

El mecanismo estudiado de la grúa-torre se compone de tres principales subsistemas que son: motor, carga y carretilla, en donde la carga con masa m, está acoplada directamente a la carretilla que tiene masa M ambas en Kg, por medio de una cuerda (o guaya) con longitud L en metros, y a su vez la carretilla está acoplada por medio de un juego de poleas de radio r a un motor DC, el cual es el encargado de aplicar un par ( 𝑚 para generar movimientos lineales en la carretilla. El motor es controlado por medio de un driver de potencia, el cual es modelado como una ganancia 𝑘 𝑝𝑤𝑚 que convierte ciclo útil de una señal por modulación de ancho de pulso en la entrada del driver a voltaje promedio aplicado en los terminales del motor.

El modelo estudiado describe la posición angular de la carga θp(t) en radianes respecto al eje vertical que acompaña a la carretilla. La carretilla es halada por una tensión T ₁ a lo largo de un soporte, generando un desplazamiento lineal x(t)

en metros; la Fig. 1 detalla el diagrama del sistema antes descrito. El modelo considera las siguientes suposiciones, a saber: la carga es modelada como una partícula, la fricción del sistema y la masa de la cuerda son despreciadas, los movimientos de la carga y carretilla están restringidos al plano (x-y) y la cuerda es considerada como un cuerpo rígido. Estos supuestos, se consideran para obtener un modelo simplificado del sistema mecánico, despreciando dinámicas pero tomadas como incertidumbres y que posteriormente son toleradas por el esquema de control propuesto.

Figura 1 Fuente: Los autores.

El modelo mecánico de la grúa-torre, se obtiene a partir de la siguiente ecuación de LaGrange [18].

donde i = 1,2, K es la energía cinética del sistema, P es la energía potencial del sistema, 𝑞 𝑖 describe la coordenada generalizada que indica la posición lineal de la carretilla x(t) y la posición angular del péndulo θ _p (t) respectivamente, y 𝑇 𝑖 describe la fuerza externa que se aplica al sistema con T ₁ (t) la tensión aplicada a la carretilla y T ₂ =0 que define una fuerza aplicada a la masa de la carga. Entonces, de acuerdo con las suposiciones antes mencionadas, la energía cinética del sistema (ver Fig. 1), está dada por:

donde 𝑣 es un vector que comprende la velocidad de la carga dadas sus componentes vectoriales v _x y v_y; dicho vector está definido como:

donde y. La energía potencial total del sistema está dada por:

donde 𝑔 es la aceleración gravitacional. Luego, a partir de la combinación de ec. (2)-(5), y teniendo en cuenta la formulación de LaGrange ec. (1), se obtiene el siguiente sistema no lineal en espacio de estados de la grúa-torre:

donde , , es la velocidad de la carretilla, , es la velocidad angular de la carga, 𝑢 𝑓 𝑡 = 𝑇 1 (𝑡) es la fuerza aplicada a la carretilla, y f _i y b _i son funciones no lineales descritas por:

Tomando el punto de equilibrio , se linealiza el modelo de la grúa ec. (6)-(9), obteniendo la siguiente representación:

Por otra parte, considerando solo la parte mecánica de la dinámica de un motor de corriente continua, se obtiene la siguiente representación lineal:

donde 𝐽 representa el momento inercia del eje del motor, B es el coeficiente de viscosidad del motor, kb constante mecánica del motor, θm representa la velocidad angular del motor, Vin es el voltaje aplicado en terminales del motor y τm el par del motor. Además, las ec. (14)-(15) están linealmente relacionadas con las ec. (16)-(17), mediante:

Reemplazando ec. (18)-(19), en el modelo del motor DC ec. (16)-(17) y posteriormente reemplazando en el modelo mecánico de la grúa-torre ec. (14)-(15), se obtiene la siguiente representación en espacio de estados:

con,

donde,

kpwm es la constante de conversión de ciclo útil a voltaje aplicado al motor, y 𝑢(𝑡) es la entrada de control que representa ciclo útil. La Tabla 1 muestra los parámetros del modelo de la grúa-torre.

Tabla 1

Fuente: Los autores.

Por último, el modelo matemático de la grúa-torre ec.(20) es discretizado por el método ZOH (Zero Order Hold) con un tiempo de muestreo de 𝑇 𝑠 =0.01𝑠. El modelo matemático en tiempo discreto se describe como:

donde es el vector de estados en tiempo discreto del sistema, v(k) es la velocidad lineal de la carretilla, ωp(k) es la velocidad angular del péndulo, y ,

El esquema de control propuesto se enfoca principalmente en mejorar la estimación de las variables de estado y las perturbaciones a las que está sometido el sistema, en especial las provenientes de la oscilación de la carga que en general se componen principalmente por la frecuencia de oscilación pendular de la carga que puede ser ocasionada por perturbaciones externas o internas como la inercia del propio sistema cuando la carretilla se está posicionando. Para lograr esto, el observador de estado extendido usado convencionalmente en ADRC es modificado para incluir un modelo interno que describe una señal armónica con frecuencia 𝜔 𝑟 (también llamado resonador). Luego, las estimaciones de la perturbación y las variables de estado, se usan en la ley de control para rechazar en línea la perturbación y acomodar la dinámica de lazo cerrado, respectivamente.

Entonces, como es típico en estrategias de control bajo la filosofía ADR, las perturbaciones que afectan al sistema se asumen de forma unificada a la entrada de la planta, en este caso como 𝜉 𝑟 (𝑘), y por lo tanto el sistema toma la siguiente descripción:

Donde ξr(k) es la señal de perturbación unificada la cual se desea estimar y rechazar, y está compuesta por perturbaciones externas y dinámicas del sistema generadas por incertidumbres en el modelo.

La estrategia propuesta en la sección 3 se compara con dos esquemas de control que son: un PI vectorial con observador de estados etiquetado aquí como (PI-Vectorial); y un control con acción integral y observador de estado extendido basado en la filosofía ADR, etiquetado aquí como (PI-ADR). El diseño del observador de estado extendido usa un modelo interno convencional de la función de perturbación dado por , que asume que la función de perturbación es constante, como es usado en la mayoría de los casos en ADRC.

La Tabla 2 muestra los valores propios seleccionados para cada esquema de control/observador, y la Tabla 3 muestra las ganancias obtenidas en cada caso. De aquí en adelante el esquema de control propuesto en la sección 3 es etiquetado como (PI-ADR+R).

Tabla 2

Fuente: Los autores.

Tabla 3

Fuente: Los autores.

Las gráficas de Nyquist son utilizadas para analizar y evaluar la robustez de los sistemas de control. La distancia mínima entre la curva de Nyquist y el punto [-1,0j] define el margen de módulo Δ𝑀, e identifica la robustez del sistema de control. Un sistema robusto debe tener un margen de módulo superior o igual a 0.5 [20]. La Fig. 3 detalla el margen de módulo de las curvas de Nyquist de lazo abierto de cada sistema de control: PI-Vectorial, PI-ADR y la propuesta de control etiquetada como PI-ADR+R.

Figura 3 Fuente: Los autores.

Los sistemas de control presentan altos márgenes de módulo y en consecuencia son considerados robustos. El control PI-Vectorial tiene un margen de módulo de Δ𝑀=0.788, PI-ADR de Δ𝑀=0.792 y la propuesta de control PI-ADR+R de Δ𝑀=0.779. Se puede apreciar que el esquema de control propuesto (PI-ADR+R) muestra un índice de robustez un poco menor que los demás: sólo 1.6% inferior que el margen del PI-ADR, y 1.1% inferior que el margen del PI-vectorial.

Para evaluar las técnicas de control propuestas, se realizaron pruebas experimentales sobre una grúa-torre a escala (ver Fig. 4) con el fin de analizar y validar el desempeño y robustez presentado por cada sistema de control. La primera prueba consistió en observar las respuestas de los controladores ante una referencia tipo paso en 𝑥 ∗ para analizar el comportamiento del desplazamiento de la carretilla y de la oscilación de la carga. La segunda prueba analiza las respuestas de los controladores ante rechazo de perturbaciones en la carga. Por último, en una tercera prueba se analizan los sistemas de control cuando se reduce la longitud de la guaya 𝐿 en 25% respecto a su valor nominal. Esta longitud es considerada el parámetro más crítico del modelo de la grúa.

Figura 4 Fuente: Los autores.

En este artículo, se propuso un esquema de control en tiempo discreto bajo el enfoque del rechazo activo de perturbaciones para abordar el problema de oscilaciones presentes en la carga de grúas-torre. La propuesta de control se diseñó con un observador de estado extendido que incluyó un elemento resonante que dio la habilidad de mejorar las estimaciones de las variables de estado y de la perturbación cuando se presentan oscilaciones en la carga.

El esquema de control propuesto evidenció experimentalmente mejor desempeño en comparación con otros controladores (PI-Vectorial y PI-ADR), mostrando menores amplitudes de oscilación en la carga durante la respuesta transitoria y estacionaria de cada prueba. Este desempeño se evidenció inclusive, cuando los esquemas de control estaban sometidos a incertidumbres paramétricas y perturbaciones externas.

Por otra parte, se encontró la robustez de cada sistema de control usando la gráfica de Nyquist obteniendo un margen de módulo superior a 0.77 en todos los esquemas de control evaluados. No obstante, en comparación con los otros esquemas de control, los resultados experimentales mostraron que la propuesta de control conserva un desempeño adecuado en la atenuación de las oscilaciones en la carga, pese a una variación de −25% en la longitud nominal de la cuerda 𝐿.