Como variables de decisión, para la optimización del proceso de maquinado, se tomaron los parámetros del régimen de corte: velocidad, avance y profundidad de corte. En el caso considerado, correspondiente a un torneado cilíndrico de pasadas múltiples, hay que tener en cuenta que la última pasada es de acabado y las previas, de desbaste. En ese caso, asumiendo que todas las pasadas de desbaste se llevarán a cabo con el mismo régimen, se tienen seis variables de decisión: la profundidad de corte de acabado, a _F; el número total de pasadas, N; el avance para el desbaste, f _R, y el acabado, f _F; y la velocidad de corte para el desbaste, v _R, y el acabado, v _F.

Nótese que la profundidad de corte para el desbaste, a _R, puede calcularse mediante la expresión:

donde d ₀ y d son los diámetros inicial y final, respectivamente, del escalón elaborado.

Teniendo en cuenta lo anterior, para cada una de las N pasadas, los parámetros de corte serán:

Como funciones objetivo se toman los dos aspectos considerados de la sostenibilidad del proceso: económico y ambiental. Para el primero, se consideró el costo total de la operación, z _TOT:

donde z _L es el costo horario por mano de obra; z _O, el total de costos horarios indirectos; z _T, el costo unitario de herramienta; z _E, el costo unitario de energía consumida; τ, el tiempo de producción; ξ, la vida útil consumida de la herramienta; y E, el consumo de energía. Por su parte, el tiempo de producción se calcula como:

donde, τ_S es el tiempo de instalación y desinstalación; τ_C, el tiempo total de corte; τ_T, el tiempo de cambio de herramienta; y τ_B, el tiempo de retroceso de la herramienta. La ecuación 4 puede ser, entonces, rescrita de la siguiente forma:

donde, ( _{C i} es el tiempo de corte para la i-ésima pasada:

El consumo de herramienta por cada pasada se determina mediante la relación:

y la vida útil de la herramienta para cada pasada, ^_Ti , puede ser calculada usando la ley de Taylor extendida:

donde C _T, α, β y γ son coeficientes determinados empíricamente.

El segundo objetivo es el impacto ambiental. EI, que tiene en cuenta el consumo de energía y el gasto herramental; ambos parámetros fueron normalizados, mediante una interpolación lineal, para poder establecer una relación entre ellos:

En la ecuación anterior, E, es la energía total consumida en el proceso:

siendo ^_Ei la energía consumida; y ^_Pi , la potencia de corte en la i-ésima pasada:

que depende de la velocidad de corte, ^_vi , y de la fuerza, ^_Fi , que a su vez se puede calcular por la ecuación:

donde C _F, λ, μ y ν son coeficientes determinados empíricamente.

Para el proceso de corte es necesario que se cumplan determinadas restricciones. Primero que todo, los parámetros de corte se deben seleccionar en el rango permitido para la herramienta seleccionada:

Además, la fuerza de corte para cada pasada, ^_Fi , no debe sobrepasar un valor máximo, F ^max, el cual está dado por la resistencia y rigidez del sistema máquina-herramienta-pieza:

También, la potencia de corte para cada pasada, ^_Pi , no debe ser mayor que la potencia del motor de la máquina herramienta, P _mot, afectada por la eficiencia de la trasmisión, η:

Estas dos últimas restricciones deben ser especialmente analizadas en las pasadas de desbaste.

Finalmente, en la pasada de acabado la rugosidad superficial obtenida, ^_Ri , debe ser menor o igual al valor especificado en los requerimientos tecnológicos de la superficie a elaborar, R ^max:

donde, r _E es el radio de la punta de la herramienta.

La implementación de los algoritmos de optimización se realizó en el software MatLab R2013a.

Los parámetros empleados para el NSGA-II (non-dominated sorting genetic algorithm), son: tamaño de población de 1000 muestras, y un número máximo de iteraciones igual a 200. La población inicial fue creada siguiendo una distribución aleatoria y uniforme. El cruzamiento fue hecho mediante la técnica de punto simple. Para la mutación se aplicó una probabilidad de 0,01.

El algoritmo de Enjambre de Partículas se ejecutó con un tamaño de partículas de 1000 e igual número para el repositorio de la población, un factor de inercia de 0,5 y un coeficiente global de aprendizaje de 2 (estos valores se establecen a prueba y error).

Para comparar la eficiencia de ambos algoritmos (fueron ejecutadas 50 réplicas de los mismos) se seleccionó el tiempo de cómputo y el hiperárea [26], esta última evalúa la calidad de la frontera de Pareto obtenida.

Con el objetivo de ilustrar el método de optimización propuesto, se llevará a cabo el siguiente estudio de caso. Se debe elaborar una sección de un árbol de AISI 1045, con longitud 180 mm, desde un diámetro inicial de 150 mm hasta un diámetro de 100 mm (ver Fig. 1). De acuerdo con los requisitos tecnológicos, la superficie obtenida debe tener una rugosidad no mayor de 2.0 μm (Ra).

Figura 1 Fuente: Elaborado por los autores.

El proceso de torneado se ejecutará en un torno CNC, el cual tiene un motor de 10 kW y una eficiencia en la transmisión del 75%. La fuerza máxima permisible por la máquina herramienta es de 5000 N. El radio de la punta tanto para la herramienta de desbaste como para la de acabado es de 2 mm. Los rangos permisibles de los parámetros de corte para la herramienta seleccionada se muestran a continuación. Cabe destacar que como la herramienta para el desbaste y el acabado es la misma, el avance y la velocidad se mantienen igual para ambas operaciones.

Para la combinación pieza-herramienta empleada, se obtuvieron los siguientes modelos empíricos, para la vida útil de la herramienta y la fuerza de corte:

Estos modelos solo son válidos en los intervalos antes mencionados, los cuales son suministrados por el fabricante de las herramientas usadas.

El tiempo de instalación, el tiempo de cambio y el tiempo de retroceso para una herramienta, se han asumido como: 1,5; 1,0 y 0,1 min, respectivamente. Por otra parte el costo específico por mano de obra, el costo por gastos indirectos, el costo por herramienta y el costo por energía consumida son de: 0,44 $; 0,18 $; 14,17 $ y 0,20 $ respectivamente.

Después de ejecutar los algoritmos de optimización, los puntos no dominados o soluciones óptimas son representados gráficamente en la frontera de Pareto (ver Fig. 2 y 3), con el objetivo de facilitar el proceso de toma de decisión.

Figura 2 Fuente: Elaborado por los autores.

Figura 3 Fuente: Elaborado por los autores.

En un análisis preliminar, entre ambas fronteras, se puede observar que la dispersión de los resultados de las diferentes réplicas es mayor en los resultados de PSO. Esto hace que los mismos sean cualitativamente inferiores a los obtenidos por NSGA-II.

Lo anterior se corrobora a través del cálculo del hiperárea, como métrica de la calidad de las fronteras de Pareto obtenidas. Como se puede observar (Tabla 1), la hiperárea de las fronteras obtenidas por NSGA-II no sólo es mayor, sino que presenta una menor dispersión.

Tabla 1

Fuente: Elaborada por los autores.

Por otro lado, el tiempo de cómputo del NSGA-II es marcadamente inferior al del PSO. Se puede concluir que el NSGA-II es superior al PSO no sólo por la calidad de la frontera obtenida, sino también por la eficiencia computacional.

La toma de decisiones se lleva a cabo, entonces, a partir de la frontera generada por el NSGA-II (Fig. 2). Como se puede apreciar en la misma, las soluciones pueden ser dividas en tres zonas:

Zona I: En esta zona los costos alcanzan sus valores más bajos, y consecuentemente el impacto ambiental posee los mayores porcientos. Estas soluciones son las más convenientes cuando en el taller se presentan dificultades con los indicadores económicos.

Evidentemente, la solución seleccionada finalmente dependerá de las condiciones específicas de la producción en cuestión.