En la teoría convencional se toma en cuenta solamente las colisiones inter-atómicas pero no las colisiones de los átomos con la pared de la celda.

Consideremos un vapor atómico con densidad atómica N confinado en una celda de vidrio, irradiada por luz monocromática con frecuencia en torno de una resonancia con una transición atómica. La luz incidente es supuesta ser suficientemente débil para que el número de atamos excitados sea mucho menor que el número de átomos que permanecen en el estado fundamental. Los atamos del vapor son considerados como sistemas de dos niveles, con estado fundamental ф _g y estado excitado ф _е ambos no degenerados. La frecuencia de la transition es ω₀ y el tiempo de vida natural es denotado por τ_η.

En esta situation, la respuesta del vapor al campo incidente es descrita por el índice de refracción complexo n _v (ω) y satisface una relación implícita, la cual para bajas densidades, |n _v (ω) - 1| << 1, se reduce a ^[3]:

donde la distribución V(u) de las componentes x de la velocidad es dada por la distribución de Maxwell:

siendo u _th la velocidad más probable de los átomos de masa m _A del vapor con temperatura absoluta T, dado por:

Además, e es la carga del electron, m su masa, ω la frecuencia del campo óptico incidente, k el número de onda (ω = ck), t ₀ la constante dieléctrica del vacío, / la "fuerza" del oscilador, y γ es el ancho espectral homogéneo de la transición atómica.

La diferencia en la reflectividad ΔΚ = R - R ₀ tal como es comparado con la reflectividad dieléctrico-vacío:

esto es:

es proporcional a la dispersión -D (ω).

La modificación de la teoría convencional por la inclusión de colisiones átomo-pared requiere conocimiento acerca de la naturaleza de estas colisiones. En relation a las velocidades atómicas, se puede distinguir entre colisiones especulares y difusas. Las primeras son colisiones elásticas y las últimas son colisiones en que las velocidades de los átomos son redistribuidas de acuerdo con la distribution de Maxwell según la temperatura del vapor. La polarización atómica inducida por la radiación puede ser totalmente perdida o parcialmente conservada en una colisión átomo-pared.

En vista de las grandes fuerzas que actúan sobre el átomo cuando colisiona con la pared, es razonable asumir que la polarización es perdida en una colisión átomo-pared. Las mudanzas de velocidad en una colisión no necesitan entonces ser especificadas ya que toda la memoria acerca del pasado es perdida en la colisión.

Así, considerando que tanto los átomos se mueven en la dirección de la interface como los que parten de ella contribuyen igualmente para la reflexión, y usandose directamente la teoría convencional para átomos con u < 0, se tiene que n _v (ω) es dado por ^[3,4]:

De ahí se tiene para Δ, obtenida a partir de (1), (6) y (7), de acuerdo con la teoría modificada:

La reflectividad extra Δ R = R-R ₀ es proporcional a la convolución del perfil de dispersión lorentziano de un simple átomo (Δω + ku)/[( Δ ω; + ku)² + γ²] con una distribución de velocidades que es la siguiente: igual a 2V(u) para u < 0, tiene una discontinuidad en u = 0 y se anula para u > 0.

Para Δω ² + γ ² << y² _D, con y _d como el ancho Doppler, la contribución dominante en (8) viene de los átomos con 0 ≤ |u| << u _t h. Entonces, escribiendo:

se puede encontrar, para Δω² + γ² << y²D (y así γ << y_d), que:

donde:

Para Δω² + γ² >> Y ² _D, todos los átomos contribuyen para la reflectividad y se puede escribir u = 0 en el denominador de (8), encontrándose ası el resultado asintótico dado por la expresión:

La teoría convencional predice una expresión para Δ que se diferencia de la expresión (8) por el factor 2 y por la integration de u que va de -∞ a ∞. Se puede observar también que para Y << Y_D, la reflectividad modificada comparada a la reflectividad convencional contiene una contribución extra que es de naturaleza logarítmica, centrada en la resonancia, simétrica en frecuencia y tiene un ancho espectral del orden de.

Siguiendo el modelo presentado arriba para la teoría de la reflexión selectiva, procedemos ahora a la presentación de espectros calculados numericamente donde utilizamos la teoría modificada.

Para comparar con los resultados obtenidos experimentalmente vamos a calcular espectros numéricos de reflexión selectiva para el caso específico de la línea D ₂ del cesio, cuyo diagrama de niveles de energía es mostrado en la figura 1 evidenciando su estructura hiperfina.

Figura 1

Para los cálculos numéricos de las formas de línea fue utilizado el valor del índice de refracción del vidrio tipo pírex n = 1.45 y f = 0.81 ^[5]. Tenemos además que , donde el factor es debido a la forma gausseana de ancho Doppler ^[3], . El ancho natural es γnat y el ensanchamiento por colisiones es γcol. El ancho natural Δνηαt para la línea D2 del cesio es igual a 5.3 MHz y el ancho Doppler es dado por MHz. El ensanchamiento por colisiones Δν _col es entonces dado por la relación ^[6]:

Considerando entonces estos valores calculamos la forma de línea para la contribución logarítmica dado por la relación (10) y su contribución asintótica, dada por la relación (12). Obtenemos así los espectros numéricos de la reflexión selectiva para la transición hiperfina F = 4 →· F' = 3, 4, 5 de la línea D ₂ del cesio mediante la relation:

donde P _4-j son las probabilidades relativas de cada transición considerada y son las contribuciones a la reflectividad de cada resonancia hiperfina.

En la figura 2 se presenta un espectro calculado con la teoría de dispersión convencional junto con un espectro calculado con la teoría modificada. Tenemos que en el espectro calculado con la teoría modificada se puede observar las resonancias correspondientes a las transiciones hiperfinas F = 4 → F' = 3,4, 5. Estas resonancias no aparecen en el espectro calculado con la teoría de dispersión convencional.

FIGURA 2

En la figura 4 se muestran espectros de reflexión selectiva tanto teóricos como experimentales de la línea D ₂ del cesio, en las resonancias hiperfinas F = 4 → F' = 3, 4, 5. Estos espectros son obtenidos considerando bajas densidades del vapor atómico, o sea cuando Y _col << y _d , y por lo tanto el ancho del espectro es dominada por el ancho Doppler γ _d . En nuestro caso, tenemos que un vapor a baja densidad cuando N es relativamente menor que 4 χ 10¹⁴ átomos/cm³. Los espectros experimentales son obtenidos con una intensidad del láser de ~0.2 mW/cm², por tanto, menor que la intensidad de saturación.

FIGURA 4

Los espectros experimentales mostrados en la figura 4 tuvieron sus escalas ajustadas debido al hecho que por la disposición experimental no fue posible hacer una medición absoluta de la señal reflejada y normalizada en relación a la reflexión no resonante. Sin embargo, se observo experimentalmente que la amplitud de la señal reflejada crece con la densidad, lo que teoricamente esta descrito por la expresión (8) de la reflectividad. Este hecho es reportado también en experimentos de reflexión selectiva con vapor atómico de sodio ^[4] donde se muestra que las amplitudes de los espectros teóricos y experimentales están en buena concordancia, y en ambos casos la reflectividad aumenta tal como aumenta la densidad del vapor atómico.

Por otra parte, se puede ver a partir de los espectros teóricos presentados en la figura 4, que los resultados de la teoría modificada describen bien la forma de línea de los espectros experimentales. Quiere decir que la teoría modificada claramente predice la aparición de una estructura sub-Doppler en los espectros de reflexión selectiva. En un análisis más detallado de las formas de líneas se puede notar que existe una diferencia en lo que respecta a la anchura de los picos: el ancho de las resonancias correspondientes a las transiciones hiperfinas de los espectros teóricos son menores que las correspondientes en los espectros experimentales; por ejemplo para una densidad de 2.1 χ 10¹⁴ átomos/cm³ el ancho teórico del pico de la transición 4 → 5 es de ~115 MHz en cuanto que el ancho experimental para esta misma transición es de ~47 MHz, y esto puede deberse a la influencia del ancho del laser utilizado que es de ~30 MHz. Una discrepancia similar entre el ancho de los perfiles teóricos y experimentales fue observada para el sodio fue reportado en la referencia ^[4] y en ^[6] para el caso del cesio.

Para una densidad de 3.2 χ 10¹⁴ átomos/cm³ se puede ver que existe una mayor diferencia entre el espectro teórico y experimental; en el espectro teórico prácticamente la resonancia de la transición 4 → 3 desapareció, en cuanto que en el espectro experimental todavía se puede apreciar esta resonancia. Sin embargo, debemos recordar también que el cálculo del espectro teórico a esta densidad se torna cuestionable, debido al hecho de que la densidad no es mucho menor que 4 χ 10¹⁴ átomos/cm³, límite de bajas densidades. Asó, finalmente podemos decir que para vapores atómicos de baja densidad los resultados de la teoría modificada dan resultados que son consistentes cuando son comparados con los resultados experimentales.

En nuestros resultados experimentales, en los espectros de reflexión selectiva para densidades con valores aproximadamente mayores a 5. 5 x 10¹⁴ átomos/cm³, se hace evidente un desplazamiento del perfil espectral de la reflexión selectiva, tal como se puede apreciar en la figura 5, donde se observa el desplazamiento del pico de la resonancia correspondiente a la transición 4 → 5 para el azul, en relación al espectro de absorción saturada de referencia, para una densidad de 5.5 χ 10¹⁴ átomos/cm³.

FIGURA 5

En este caso medimos el desplazamiento δ de la frecuencia del pico de la resonancia 4 → 5, desde una densidad 5.5 x 10¹⁴ átomos/cm³ hasta 63 x 10¹⁴ átomos/cm³, es decir desde densidades moderadas hasta relativamente altas densidades del vapor atómico.

En la figura 6 mostramos un gráfico del desplazamiento de la frecuencia del pico correspondiente a la transición 4 → 5 en función de la densidad del vapor atómico.

FIGURA 6

Observamos que la dependencia del desplazamiento con la densidad atómica es aproximadamente lineal. Esta función lineal se puede expresar como:

donde, δ₀ = (-2.2 ± 1.6) MHz es el desplazamiento que permanece cuando la densidad N → 0 y α = (1.1 ± 0.1) χ 10^-8 Hz.cm³ es el coeficiente del desplazamiento para el azul en este caso.

Uno de los mecanismos debido al cual se tiene un desplazamiento de línea son las colisiones entre los átomos ^[7]. En adición a este mecanismo existe otra contribución al desplazamiento que está conectada con la corrección de campo local o corrección de Lorentz-Lorenz ^[8]. En un vapor atómico denso, un átomo no solo es expuesto al campo incidente en el vacó, sino también a la radiación generada por los otros átomos en la muestra. Una descripción aproximada de esta situación es posible con el concepto del campo local, definido como el campo efectivo que actua sobre un átomo tópico en el vapor. La diferencia del campo local con el campo incidente introduce una modification de la constante dieléctrica que da lugar a un desplazamiento de la lónea, el desplazamiento de Lorentz-Lorenz ^[9,10]. Por otra parte, la interacción atomo-pared de tipo Van der Waals conduce a una distorsión y tambien a un desplazamiento de la frecuencia del perfil de la reflexión selectiva, la cual puede ser medida para determinar las características de la interaction átomo-superficie ^[9,11-14].