Combinatorial description around any vertex of a cubical n-manifold

La descripción combinatoria alrededor de cualquier vértice de una n-variedad cubulada

We say that a topological space N is a cubical n-manifold if it is a topological manifold of dimension n contained in the n-skeleton of the canonical cubulation of Rⁿ⁺². For instance, any smooth n-knot Sⁿ → Rⁿ⁺² can be deformed by an ambient isotopy into a cubical n-knot. An open question is the following: Is any closed, oriented, cubical n-manifold N in Rⁿ⁺², n > 2, smoothable? If the response is positive, we could give a discrete description of any smooth n-manifold; in particular, if we can stablish that for smooth n-knots, that fact can be useful to define invariants. One of the main dificulties to answer the above question lies in the understanding of how N looks at each vertex of the canonical cubulation. In this paper, we analyze all possible combinatorial behaviors around any vertex of any cubical manifold of dimension n, via the study of the cycles on the complete graph K_2n.

Una n-variedad cubulada N es una variedad topológica de dimensión n que está encajada en el n-esqueleto de la cubulación canónica de Rⁿ⁺². En particular, cualquier n-nudo suave Sⁿ → Rⁿ⁺² puede ser deformado por una isotopía ambiente en un n-nudo cubulado. Una pregunta abierta es la siguiente ¿cualquier n-variedad cubulada, cerrada y orientable N en Rn+2, n > 2, es suavizable? Si la respuesta es afirmativa, entonces podremos dar una descripción discreta de cualquier n-variedad suave; en específico, podremos aplicarla para n-nudos suaves y utilizarla para definir invariantes. Una de las principales dificultades para responder la pregunta anterior radica en la comprensión de como es N en cada vértice de la cubulación canónica. En este artículo, analizamos todos los posibles comportamientos combinatorios alrededor de cualquier vértice de una variedad cubulada de dimensión n, a través del estudio de los ciclos de la gráfica completa K_2n