Hölder continuous maps on the interval with positive metric mean dimension

Funciones Hölder continuas en el intervalo con dimensión métrica media positiva

Fix a compact metric space X with finite topological dimension. Let C⁰(X) be the space of continuous maps on X and H^α(X) the space of α-Hölder continuous maps on X, for α ∈ (0, 1]. Let H¹(X) be the space of Lipschitz continuous maps on X. We have

H¹(X) ⊂ H^β (X) ⊂ H^α (X) ⊂ C⁰ (X),     where 0 < α < β < 1.

It is well-known that if Φ ∈ H¹ (H), then Φ has metric mean dimension equal to zero. On the other hand, if X is a manifold, then C⁰ (X) contains a residual subset whose elements have positive metric mean dimension. In this work we will prove that, for any α ∈ (0, 1), there exists Φ ∈ H^α ([0, 1]) with positive metric mean dimension.

Fijemos un espacio métrico compacto X con dimensión topológica finita. Sea C⁰(X) el espacio de funciones continuas en X y H^α(X) el espacio de funciones α-Hölder continuas en X, para α ∈ (0, 1]. Sea H¹(X) el espacio de funciones Lipschitz continuas en X. Tenemos la siguiente inclusión:

H¹(X) ⊂ H^β (X) ⊂ H^α (X) ⊂ C⁰ (X),     donde 0 < α < β < 1.

Es bien sabido que si Φ ∈ H¹ (H), entonces Φ tiene dimensión métrica media igual a cero. Por otro lado, si X es una variedad Riemanniana compacta, entonces C⁰ (X) contiene un subconjunto residual cuyos elementos tienen dimensión métrica media positiva. En este trabajo demostraremos que, para cualquier α ∈ (0, 1), existe Φ ∈ H^α ([0, 1]) con dimensión métrica media positiva.