Quasiconvex functions on regular trees

Funciones cuasi-convexas en arboles regulares

We introduce a definition of a quasiconvex function on an infinite directed regular tree that depends on what we understand by a segment on the tree. Our definition is based on thinking on segments as subtrees with the root as the midpoint of the segment and extends a previous notion of convexity on a tree. A convex set in the tree is then a subset such that it contains every midpoint of every segment with terminal nodes in the set. Then, a quasiconvex function is a real map on the tree such that every level set is a convex set. For this concept of quasiconvex functions on a tree, we show that given a continuous boundary datum, there exists a unique quasiconvex envelope on the tree, and we characterize the equation that this envelope satisfies. It turns out that this equation is a mean value property that involves a median among values of the function on successors of a given vertex. We also relate the quasiconvex envelope of a function defined inside the tree to the solution of an obstacle problem for this characteristic equation.

Se introduce una definición de función cuasiconvexa en el árbol regular dirigido e infinito, que depende de lo que se entienda por segmento en el árbol. Nuestra definición se basa en pensar segmentos como subárboles con la raíz como el punto medio del segmento, lo que extiende una noción previa de convexidad en un árbol. Un conjunto convexo en el árbol es entonces un subconjunto tal que contiene cada punto medio de cada segmento con nodos terminales en el conjunto. Entonces, una función cuasiconvexa es una función real en el árbol tal que cada conjunto de nivel es convexo. Para este concepto de funciones cuasiconvexas en un árbol, se muestra que dado un dato de borde continuo, existe una única envolvente cuasiconvexa en el árbol, y se caracteriza la ecuación que satisface esta envolvente. La ecuación resultante es una propiedad de valor medio que involucra una mediana entre los valores de la función en los sucesores de un vértice dado. También se relaciona la envolvente cuasiconvexa de una función definida dentro del árbol con la solución de un problema de obstáculo para esta ecuación característica.