On a problem of Samuel

Se demuestra que si A es un dominio euclideano con respecta a una función que vale 1 en los primos de A, y además A es una k-álgebra finitamente generada sobre un cuerpo k ⊂ A que contiene todos los invertibles de A, entonces k es algebráicamente cerrado y A = k [x], el  anillo de polinomios en x con coeficientes en k. Por otra parte, el cuerpo de fracciones de A debe tener genus 0.