Local limit theorems for the critical Galton-Watson process with immigration

This paper considers a critical Galton-Watson branching process with immigration, in which the aperiodic offspring distribution {P₀,P₁,...} satisfies a j² log j-condition [Formula Matemática] and the immigration distribution a j log j-condition.

The asymptotic behavior of the n-step transition probabilities P_n(i,j) ad n + ∞,  and i/n and j/n remain bounded, is established. As an application of this result the asymptotic behavior of the invariant measure of the process is obtained.

Este artículo considera un proceso de ramificación critico de Galton-Watson con inmigración, en el cual la distribución aperiódica de nacimientos {P₀,P₁,...} satisface una condición de tipo j² log j,

[Formula  Matemática] la distribución de inmigración satisface una condición de tipo j log j. Se establece el comportamiento asintótico de las probabilidades de transición en el paso n cuando

 n → ∞, j → i/n, j/n permanecen acotadas. Como aplicación, se obtiene el comportamiento asintótico de la medida invariante del proceso.