Criterios de convergencia secuencial

Se llama criterio de convergencia a una función C que a cada punto x de un conjunto X le asigna una colección C(x) de sucesiones contables. Se presentan condiciones necesarias y suficientes para que un criterio de convergencia C sea generado por una topología, ésto es, condiciones para que cada conjunto C(x) consista precisamente de aquellas sucesiones que convergen a x según alguna topología. Esto se logra adicionando a las tres condiciones de convergencia secuencial de M. Frechet y P. Urysohn la siguiente cuarta condición: La sucesión (x_n:n ϵ N) es del conjunto C(x),  si para cada n la  correspondiente sucesión constante de valor  X_n  es de C(x). También, los criterios de convergencia generados por topologías son representados como extremos inferiores de criterios especiales, y las topologías generadas por criterios se representan como extremos superiores.

A funcion on a set X which assigns to each point x of X a collection C(x) of countable sequences is called a convergence criterion. Necessary and sufficient conditions are given for C to be generated by a topology, that is, for each C(x) to consists exactly of those sequences converging to x in a given topology. This is obtained by adding to three necessary  conditions of Fréchet and Urysohn the following fourth condition: the sequence (x_n:n ϵ N) is in C(x) whenever for each n the constant sequence with constant term  x_n is in C(x). Also, special representations are given of these criteria and conversely for topologies generated by criteria.