Publicado
On analytic families of conformal maps
Sobre familias analíticas de mapeos conformes
DOI:
https://doi.org/10.15446/recolma.v51n1.66832Palabras clave:
Univalent function, quasiconformal extension, analytic parameter, Grunsky inequality (en)Funciones univalentes, extensión cuasiconforme, parámetro analítico, desigualdad de Grunsky (es)
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Let Λ be a domain in C and let fλ(z) = z + a0(λ) + a1(λ)z −1 + ... be meromorphic in D∗ := {z ∈ C : |z| > 1} ∪ {∞}. We assume that fλ(z) is holomorphic in λ ∈ Λ for fixed z.
The main theorem states: Let Λ0 be a subdomain of Λ such that fλ is univalent in D∗ for λ ∈ Λ0. If fλ0 has a quasiconformal extension to the closure of D∗ for one λ0 ∈ Λ0 then fλ has a quasiconformal extension for all λ ∈ Λ0.
This result is related to a theorem of Mañé, Sad and Sullivan (1983) where the assumptions are however different. The main tool of our proof is the Grunsky inequality for univalent functions.
Sea Λ a dominio en C y sea fλ(z) = z + a0(λ) + a1(λ)z −1 + ... meromorfa en D∗ := {z ∈ C : |z| > 1} ∪ {∞}. Suponemos que fλ(z) es holomorfa en λ ∈ Λ para z fijo.
El teorema principal dice: Sea Λ0 un subdominio de Λ tal que fλ es univalente en D∗ para λ ∈ Λ0. Si fλ0 tiene una extensión cuasiconforme a la clausura de D∗ para un λ0 ∈ Λ0 entonces fλ tiene una extensión cuasiconforme para todo λ ∈ Λ0.
Este resultado está relacionado a un teorema de Mañé, Sad y Sullivan (1983) donde sin embargo las hipótesis son diferentes. Para nuestra demostración la herramienta principal es la desigualdad de Grunsky para funciones univalentes.
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Derechos de autor 2017 Revista Colombiana de Matemáticas
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