The Pedersen Rigidity Problem

If is an action of a locally compact abelian group G on a C^*-algebra A, Takesaki-Takai duality recovers (A, α) up to Morita equivalence from the dual action of Ĝ on the crossed product A × _α G. Given a bit more information, Landstad duality recovers (A, α) up to isomorphism. In between these, by modifying a theorem of Pedersen, (A, α) is recovered up to outer conjugacy from the dual action and the position of A in M(A ×_α G). Our search (still unsuccessful, somehow irritating) for examples showing the necessity of this latter condition has led us to formulate the "Pedersen Rigidity problem". We present numerous situations where the condition is redundant, including G discrete or A stable or commutative. The most interesting of these "no-go theorems" is for locally unitary actions on continuous-trace algebras.

Si α es una acción de un grupo abeliano localmente compacto G sobre una C^*-álgebra A, la dualidad de Takesaki-Takai recupera (A, α), salvo equivalencia de Morita, de la acción dual de Ĝ sobre el producto cruzado A × _α G. Mediante un poco más de información, la dualidad de Landstad recupera (A, α) salvo isomorfismo. De manera intermedia, mediante la modificación de un teorema de Pedersen, (A α) es recuperado, salvo conjugación externa, de la acción dual y de la posición de A en M(A ×_α G). Nuestra búsqueda (todavía sin éxito, de alguna manera irritante) de ejemplos que prueben la necesidad de esta última condición, nos ha conducido a a formular el "problema de rigidez de Pedersen". Presentamos numerosas situaciones donde la condición es redundante, incluídos los casos en que G es discreto, o bien A es estable o conmutativo. Lo más interesante de estos "teoremas de no usar" es para acciones localmente unitarias sobre álgebras trazo-continuas.