Un método de sumación

Es bien conocido el método de surnacion de series debido a Cesàro|: Dada una serie ∑ x_k , sea s_n = x₁ + ••• + x_n (n = 1,2,...) la sucesión de sus sumas parciales, y sea

∝_n = 1/n  (s₁ + ... + s_n) ,  ( n = 1, 2, ...) .

Se dice que ∑ x_k  es (C,1)-sumable (o sumable en el sentido de Cesàro) si la sucesión (∝_n ) es convergente; su límite  a  es entonces la  (C,1)-suma de la serie, y se escribe a = (C,1)- ∑ x_k •

Este método de sumación es regular, es decir, si una serie es sumable (convergente) en el sentido ordinario entonces es (C,1)-sumable y su (C,1)-suma coincide con su suma ordinaria.

Por otra parte, este método de sumación es más poderoso que el ordinario, es decir, existen series (C,1)-sumables que no son sumables en el sentido usual.

Naturalmente, los conceptos anteriores se aplican a sucesiones cualesquiera: Una sucesión (a_n) converge en el sentido de Cesàro (o es (C,1)-convergente) hacia a si la sucesión de medias aritméticas

∝_n =  1/n  (a₁ + ••• + a_n ) ,  (n 1,2,...)

converge (en el sentido usual) hacia a; en este caso se escribe a = (C,1)-lim a_n • La regularidad indica entonces que si lim a_n existe, entonces también existe (C,1)-lim a_n , y estos números son iguales.