Generalized Rigid Modules

Módulos generalizados rígidos

Let α be an endomorphism of an arbitrary ring R with identity. The aim of this paper is to introduce the notion of an α-rigid module which is an extension of the rigid property in rings and the α-reduced property in modules defined in [8]. The class of α-rigid modules is a new kind of modules which behave like rigid rings. A right R-module M is called \alpha-rigid if ma α(a)=0 implies ma=0 for any m ∈ M and a ∈ R. We investigate some properties of α-rigid modules and among others we also prove that if M[x;α] is a reduced right R[x;α]-module, then M is an α-rigid right R-module. The ring R is α-rigid if and only if every flat right R-module is α-rigid. For a rigid right R-module M, M is α-semicommutative if and only if M[x;α]R[x;\,\alpha] is semicommutative if and only if M\big[[x;α]\big]R[[x;\,\alpha]] is semicommutative.

Sea α un endomorfismo de un anillo arbitrario R con identidad. El propósito de este articulo es introducir la noción de un módulo α-rígido el cual es una extensión de la propiedad de rigidez en anillos y la propiedad de α-reducibilidad en módulos definida en [8]. La clase de módulos α-rígidos es una nueva clase de módulos los cuales de comportan como anillos rígidos. Un R-módulo derecho M es llamado \alpha-rígido si ma α(a)=0 implica que ma=0 para cualquier m ∈ M y a ∈ R. Nosotros investigamos algunas propiedades de módulos α-rígidos y entre otras nosotros también probamos que si M[x;α] es un R[x;α]-módulo derecho reducido, entonces M es un R-módulo derecho α-rígido. El anillo R es α-rígido si y sólo si cada R-módulo bandera derecha es α-rígido. Para un R-módulo derecho rígido M, M es α-semiconmutativo si y sólo si M[x;α]R[x;\,\alpha] es semiconmutativo si y sólo si M\big[[x;α]\big]R[[x;\,\alpha]] es semiconmutativo.

Generalized Rigid Modules Módulos generalizados rígidos ERDAL GUNER¹, SAIT HALICIOGLU²

¹Ankara University, Ankara, Turkey. Email: guner@science.ankara.edu.tr
²Ankara University, Ankara, Turkey. Email: halici@ankara.edu.tr

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Abstract

Let α be an endomorphism of an arbitrary ring R with identity. The aim of this paper is to introduce the notion of an α-rigid module which is an extension of the rigid property in rings and the α-reduced property in modules defined in [8]. The class of α-rigid modules is a new kind of modules which behave like rigid rings. A right R-module M is called \alpha-rigid if ma α(a)=0 implies ma=0 for any m ∈ M and a ∈ R. We investigate some properties of α-rigid modules and among others we also prove that if M[x;α] is a reduced right R[x;α]-module, then M is an α-rigid right R-module. The ring R is α-rigid if and only if every flat right R-module is α-rigid. For a rigid right R-module M, M is α-semicommutative if and only if M[x;α]_{R[x;\,\alpha]} is semicommutative if and only if M\big[[x;α]\big]_{R[[x;\,\alpha]]} is semicommutative.

Key words: Reduced modules, Semicommutative modules, Armendariz modules, Rigid modules.

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2000 Mathematics Subject Classification: 16U80, 16S36.

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Resumen

Sea α un endomorfismo de un anillo arbitrario R con identidad. El propósito de este articulo es introducir la noción de un módulo α-rígido el cual es una extensión de la propiedad de rigidez en anillos y la propiedad de α-reducibilidad en módulos definida en [8]. La clase de módulos α-rígidos es una nueva clase de módulos los cuales de comportan como anillos rígidos. Un R-módulo derecho M es llamado \alpha-rígido si ma α(a)=0 implica que ma=0 para cualquier m ∈ M y a ∈ R. Nosotros investigamos algunas propiedades de módulos α-rígidos y entre otras nosotros también probamos que si M[x;α] es un R[x;α]-módulo derecho reducido, entonces M es un R-módulo derecho α-rígido. El anillo R es α-rígido si y sólo si cada R-módulo bandera derecha es α-rígido. Para un R-módulo derecho rígido M, M es α-semiconmutativo si y sólo si M[x;α]_{R[x;\,\alpha]} es semiconmutativo si y sólo si M\big[[x;α]\big]_{R[[x;\,\alpha]]} es semiconmutativo.

Palabras clave: Módulos reducidos, módulos semiconmutativos, módulos de Armendariz, módulos rigidos.

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Texto completo disponible en PDF

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(Recibido en diciembre de 2013. Aceptado en marzo de 2014)

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Este artículo se puede citar en LaTeX utilizando la siguiente referencia bibliográfica de BibTeX:

@ARTICLE{RCMv48n1a07,
    AUTHOR  = {Guner, Erdal and Halicioglu, Sait},
    TITLE   = {{Generalized Rigid Modules}},
    JOURNAL = {Revista Colombiana de Matemáticas},
    YEAR    = {2014},
    volume  = {48},
    number  = {1},
    pages   = {111--123}
}

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