On Spherical Invariance

In 1964 Pommerenke introduced the notion of linear invariant family for locally injective analytic functions defined in the unit disk of the complex plane. Following Ma and Minda (who extended this notion to spherical geometry), we consider in this paper locally injective meromorphic functions in the unit disk. More precisely, we study families of such functions for which a certain invariant, called spherical order, is finite. Several consequences on the finiteness of the spherical order are explored, in particular the connection with the Schwarzian and normal orders, and with uniform perfectness.

On Spherical Invariance Sobre invariancia esférica HUGO ARBELÁEZ1, DIEGO MEJÍA2

1Universidad Nacional de Colombia, Medellín, Colombia. Email:hjarbela@unal.edu.co 
2Universidad Nacional de Colombia, Medellín, Colombia. Email:dmejia@unal.edu.co 

---

Abstract

In 1964 Pommerenke introduced the notion of linear invariant family for locally injective analytic functions defined in the unit disk of the complex plane. Following Ma and Minda (who extended this notion to spherical geometry), we consider in this paper locally injective meromorphic functions in the unit disk. More precisely, we study families of such functions for which a certain invariant, called spherical order, is finite. Several consequences on the finiteness of the spherical order are explored, in particular the connection with the Schwarzian and normal orders, and with uniform perfectness.

Key words: Spherical invariance, Spherical order, Schwarzian derivative, Normal function, Uniformly perfect.

---

2000 Mathematics Subject Classification: 30D30, 30D45, 30C45, 30F45.

---

Resumen

En 1964 Pommerenke introdujo la noción de familia linealmente invariante para funciones analíticas localmente inyectivas definidas en el disco unidad del plano complejo. Siguiendo las ideas de Ma y Minda (quienes extendieron ésta noción a la geometría esférica), en este artículo consideramos funciones meromorfas localmente inyectivas definidas en el disco unidad. Más precisamente, estudiamos familias de tales funciones para las cuales un cierto invariante, llamado orden esférico, es finito. Varias consecuencias sobre la finitud del orden esférico son exploradas, en particular la conexión con los órdenes schwarziano y normal, y con dominios cuya frontera es uniformemente perfecta.

Palabras clave: Invariancia esférica, orden esférico, derivada schwarziana, función normal, uniformemente perfecto.

---

Texto completo disponible en PDF

---

References

[1] A. Beardon and C. Pommerenke, `The Poincaré Metric of Plane Domains´, J. London Math. Soc. 2, 18 (1978), 475-483.

[2] J. Dufresnoy, `Sur les domaines couverts par les valeurs d'une fonction méromorphe ou algébroïde´, Ann. Sci. Ecole Norm. Sup. 58, (1941), 179-259.

[3] P. Duren, Univalent Functions, Grundlehren Math. Wiss. 259, Springer, New York, United States, 1983.

[4] W. Hayman, Meromorphic Functions, Oxford University Press, 1964.

[5] W. Kraus, `Über den Zusammenhang einiger Charakteristiken eines einfach Zusammenhängenden Bereiches mit der Kreisabbildung´, Mitt. Math. Sem. Giessen 21, (1932), 1-28.

[6] R. Kühnau, `Geometrie der konformen Abbildung auf der projektiven Ebene´, Wiss. Z. Martin - Luther - Univ. Halle - Wittenberg Math. - Natur. 12, (1963), 5-19.

[7] P. Lappan, `A Non-Normal Locally Uniformly Univalent Function´, Bull. London Math. Soc. 5, (1973), 291-294.

[8] W. Ma and D. Minda, Spherical Linear Invariance and Uniform Local Spherical Convexity, `Current Topics in Analytic Function Theory´, (1992), World Scientific Publishing, River Edge, p. 148-170.

[9] D. Mejía, Funciones Möbius-Invariantes, Trabajo presentado para optar a la categoría de Profesor Titular, Universidad Nacional de Colombia, Medellín, Colombia, 2007.

[10] D. Mejía and C. Pommerenke, `On Spherically Convex Univalent Functions´, Michigan Math. J. 47, (2000), 163-172.

[11] C. Pommerenke, `Linear-invariante Familien Analytischer Funktionen I´, Math. Annalen 155, (1964), 108-154.

[12] C. Pommerenke, Univalent functions, Vandenhoeck and Ruprecht, Göttingen, Germany, 1975.

[13] C. Pommerenke, `Uniformly perfect sets and the Poincaré metric´, Arch. Math. 32, (1979), 192-199.

[14] C. Pommerenke, `Uniformly perfect sets and fuchsian groups´, Analysis 4, (1984), 299-321.

[15] J. Wirths, Verallgemeinerungen eines Maximumprinzips, `Bonner Math. Schriften´, (1971), Vol. 51, Univ. Bonn, p. 1-61.

(Recibido en diciembre de 2010. Aceptado en marzo de 2011)

---

Este artículo se puede citar en LaTeX utilizando la siguiente referencia bibliográfica de BibTeX:

@ARTICLE{RCMv45n1a07, 
    AUTHOR  = {Arbeláez, Hugo and Mejía, Diego}, 
    TITLE   = {{On Spherical Invariance}}, 
    JOURNAL = {Revista Colombiana de Matemáticas}, 
    YEAR    = {2011}, 
    volume  = {45}, 
    number  = {1}, 
    pages   = {97-112} 
}