El problema de Stekloff para métricas rotacionalmente invariantes en la bola

The Stekloff Problem for Rotationally Invariant Metrics on the Ball

Sea (B_r,g) una bola de radio r>0 en Rⁿ (n≥ 2) dotada con una métrica g rotacionalmente invariante ds²+f²(s)dw², donde dw² representa la métrica estándar sobre S^n-1, la esfera unitaria (n-1)--dimensional. Asumamos que B_r tiene curvatura seccional no negativa. En este artículo demostramos que si h(r)>0 es la curvatura media sobre ∂ B_r y ν₁ es el primer valor propio del problema de Stekloff, entonces ν ₁ ≥ h(r). La igualdad (ν ₁ = h(r)) se tiene sólo si ges la métrica estándar de Rⁿ.

Let (B_r,g) be a ball of radius r>0 in Rⁿ (n≥ 2) endowed with a rotationally invariant metricds²+f²(s)dw², where dw² represents the standard metric on S^n-1, the (n-1)--dimensional unit sphere. Assume that B_r has non--negative sectional curvature. In this paper we prove that ifh(r)>0 is the mean curvature on ∂ B_r and ν₁ is the first eigenvalue of the Stekloff problem, thenν₁ ≥ h(r). Equality (ν ₁ = h(r)) holds only for the standard metric of Rⁿ.

The Stekloff Problem for Rotationally Invariant Metrics on the Ball El problema de Stekloff para métricas rotacionalmente invariantes en la bola ÓSCAR ANDRÉS MONTAÑO CARREÑO¹

¹Universidad del Valle, Cali, Colombia. Email: oscar.montano@correounivalle.edu.co

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Abstract

Let (B_r,g) be a ball of radius r>0 in Rⁿ (n≥ 2) endowed with a rotationally invariant metric ds²+f²(s)dw², where dw² represents the standard metric on S^n-1, the (n-1)--dimensional unit sphere. Assume that B_r has non--negative sectional curvature. In this paper we prove that if h(r)>0 is the mean curvature on ∂ B_r and ν₁ is the first eigenvalue of the Stekloff problem, then ν₁ ≥ h(r). Equality (ν ₁ = h(r)) holds only for the standard metric of Rⁿ.

Key words: Stekloff eigenvalue, Rotationally invariant metric, Non-negative sectional curvature.

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2000 Mathematics Subject Classification: 35P15, 53C20, 53C42, 53C43.

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Resumen

Sea (B_r,g) una bola de radio r>0 en Rⁿ (n≥ 2) dotada con una métrica g rotacionalmente invariante ds²+f²(s)dw², donde dw² representa la métrica estándar sobre S^n-1, la esfera unitaria (n-1)--dimensional. Asumamos que B_r tiene curvatura seccional no negativa. En este artículo demostramos que si h(r)>0 es la curvatura media sobre ∂ B_r y ν₁ es el primer valor propio del problema de Stekloff, entonces ν ₁ ≥ h(r). La igualdad (ν ₁ = h(r)) se tiene sólo si g es la métrica estándar de Rⁿ.

Palabras clave: Valor propio de Stekloff, métrica rotacionalmente invariante, curvatura seccional no negativa.

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Texto completo disponible en PDF

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References

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(Recibido en mayo de 2012. Aceptado en octubre de 2013)

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Este artículo se puede citar en LaTeX utilizando la siguiente referencia bibliográfica de BibTeX:

@ARTICLE{RCMv47n2a05,
    AUTHOR  = {Montaño Carreño, Óscar Andrés},
    TITLE   = {{The Stekloff Problem for Rotationally Invariant Metrics on the Ball}},
    JOURNAL = {Revista Colombiana de Matemáticas},
    YEAR    = {2013},
    volume  = {47},
    number  = {2},
    pages   = {181--190}
}

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