La ecuación dφ/dt = - grad f(φ(t)) en un espacio de Hilbert

Sea H un espacio de Hilbert real y sea f:H → R¹ una función de clase C². Entonces f^´: H → H^¤, la primera derivada de f, está definida para cada x € H. Si j: H → H^¤ es la identificación  de Riesz de H con H^¤, definimos grad f=j^-1. f´: H → H. De ahora  en adelante usaremos la notación F = - grad f. Si suponemos que F es localmente acotada, entonces la ecuación diferencial   dφ/dt F(φ(t))con la condición inicial φ (o) = x, admite una solución local única que denotemos por φ_x(t).