La función en el dominio de la frecuencia X(w) correspondiente a una señal discreta { ^_xk } tal que , será definida por la suma infinita como se muestra en la Ec. (1) [11].

(1)

Donde X(w) representa una función periódica compleja en w. Con un periodo de muestreo T=1 y una frecuencia w=2nπ (Radianes por muestra) Al ser { ^_xk } discreta.

(2)

X(w) resulta simétrica (ver ecuación (2)) en el intervalo - π ≤ w ≤ n. Por lo que para eficiencia computacional X(w) podría caracterizarse a partir únicamente del intervalo 0≤ w < π.

La CWT [12] fue desarrollada como una técnica alternativa a la STFT para superar el problema de resolución. El análisis wavelet se realiza de manera similar al análisis STFT, en el sentido que la señal es multiplicada por una función (wavelet) de manera similar a la función ventana en la STFT, y la transformada se calcula separadamente para distintos segmentos de la señal en el dominio del tiempo. Sin embargo, la ventaja que posee la CWT sobre la STFT radica en el hecho de que la ventana utilizada por la CWT es variable en función de la frecuencia. La CWT se define en la Ec. (3).

(3)

Donde indica el complejo conjugado de la wavelet madre, el parámetro " a " provee dilatación (o escalamiento) el cual varia de manera continua y el parámetro " τ " cumple la función de traslación.

La CWT da como resultado un conjunto de coeficientes que son función de la escala y el tiempo y que representan la similitud (correlación) de la señal con la wavelet escogida para el análisis. Una forma de observar el proceso realizado por la CWT es mediante los siguientes pasos:

Escoger una wavelet madre (Acorde con el caso de aplicación).

De lo anterior cabe resaltar que tratándose de la CWT, los parámetros y varían de forma continua durante el proceso, pero al implementar el análisis de manera computacional los parámetros no varían de forma continua, sino que se escoge un paso lo suficientemente pequeño como para asumir dicha variación, con esto se logra una versión discretizada de la CWT.

De esta manera se puede extraer la fase de la impedancia, usando transformada wavelet, para esto se usa la Morlet Compleja [13],[14] ya que para poder hallar la fase necesitamos tener la parte real e imaginaria sino la fase daría cero, esta Morlet se muestra en la Ec. (4).

(4)

Donde a es el parámetro que permite a la madre Morlet-Modificada [15] tiene más oscilaciones haciendo que el ancho de banda de la onda sea más estrecho.

Se puede definir un procedimiento para hallar la fase de la impedancia:

Aplicando la Transformada Wavelet en su forma discreta [15],[17],[18] a los datos de las señales de voltaje y corriente, respectivamente, como se muestra en la Ec. (5) y (6).

(5)

(6)

Con la información de los datos en la frecuencia se pueden obtener como el cociente entre los coeficientes de ^_CV y ^_CI como se muestra en la Ec. (7).

(7)

La impedancia en la escala definida por "a" se puede obtener de la integración de la Ec. (7) a lo largo de todo el tiempo de la ventana del transitorio. Debido a su naturaleza compleja, la integración se realiza con un enfoque vectorial. Entonces la fase se puede obtener por medio de la Ec. (8)

(8)

Donde los operadores "Re" y "Im" son la parte real y la parte imaginaria de los coeficientes complejos, respectivamente. Para solucionar los problemas que presenta la función tangente inversa de inestabilidad numérica se usó la función "angle" proporcionada por MATLAB como solución.

Se realizó un análisis de sensibilidad al parámetro alfa (a) buscando que la Morlet compleja que muestra la Ec. (4) tenga más oscilaciones ya que así el ancho de banda es más estrecho y se puede obtener un análisis más fino, esto se hizo porque en los primeros resultados la curva (Fig. 3) no era lo suficientemente suave y exacta.

Figura 3 Fuente: Propia.

Tabla 2

Fuente: Propia.

Figura 4 Fuente: Propia.

Los valores seleccionados y analizados de alfa a se muestran en la Tabla 2.

Con el primer análisis realizado se pudo notar que la respuesta, aunque presenta una similitud a la referencia no es del todo adecuada, por lo que se realizó el segundo análisis (Fig. 5) buscando mejorar la respuesta.

Con este segundo análisis se pudo mejorar la respuesta de la fase, los tres valores se ajustan pero el más indicado ya que está totalmente sobrepuesto sobre la curva referencia (SFRA MATLAB) es alfa con 0,02 ( a =0,02). De aquí en adelante usaremos este valor para todas las respuestas obtenidas, modificando así la Morlet Compleja descrita en la Ec. (4).

Figura 5 Fuente: Propia.

Figura 6 Fuente: Propia.

Figura 7 Fuente: Propia.

Se realizó el siguiente procedimiento para obtener las curvas de fase con Wavelet y Fourier:

Se utilizó ATP para la simulación de las señales temporales aplicando un pulso de tensión (Fig. 6) y la respuesta de corriente que se obtiene a partir del sistema RLC que se muestra en la Fig. 7.

Se obtuvo la respuesta en frecuencia directamente en Matlab del sistema de RLC en términos de su impedancia (fase). Esta respuesta se tomó como referencia (Fig. 8).

Figura 8 Fuente: Propia.

Figura 9 Fuente: Propia.

Figura 10 Fuente: Propia.

Por último se tomó los transitorios de voltaje y corriente, para obtener la respuesta de frecuencia del sistema de RLC a través de la transformada de Fourier (Fig. 9) y transformada Wavelet (Fig. 10), para así comparar cada una con la referencia obtenida.

Los dos resultados fueron satisfactorios, tanto para la transformada Wavelet como la Transformada de Fourier, mostrando que el procedimiento utilizado para el análisis de las simulaciones es adecuado, dando paso al análisis respectivo de variaciones de ventana de análisis (número de datos) y frecuencia de muestreo para poder determinar la potencialidad de cada herramienta.

Con el fin de demostrar las ventajas de cada herramienta se realizó el mismo procedimiento mostrado anteriormente (paso 1 y paso 3) considerando simplemente el mismo ejemplo pero con una ventana de tiempo de 1,5ms en la que el número de muestras fue de 15.000 (la frecuencia de muestreo es de nuevo simulada a 10M muestras / s).

Figura 11 Fuente: Propia.

Figura 12 Fuente: Propia.

Con estas dos señales se puede obtener una curva (Fig. 13), donde se muestra la respuesta de la fase con cada herramienta matemática (Transformada Wavelet y Fourier), para así poder realizar una comparación de cuál método es más estable a la disminución del número de muestras.

El acortamiento de la ventana de tiempo se traduce en una pérdida de la información en las gamas alta y baja frecuencia. Fourier exhibe un impacto dramático en esos rangos, mientras que el método Wavelet ofrece un rendimiento mejorado, tal como se señala en la respuesta de la fase (Fig. 13). Adicionalmente, la Fig. 14 muestra un zoom de la Fig. 13.

Se puede apreciar como la respuesta con Fourier exhibe una forma oscilante, mientras que la respuesta con Wavelet ofrece una respuesta más precisa sin efectos de oscilación. Este efecto se puede notar incluso en el rango de frecuencia media, por encima de 40 kHz.

Figura 13 Fuente: Propia.

Figura 14 Fuente: Propia.

Por ultimo para seguir demostrando las ventajas de usar Wavelet o Fourier, seguimos realizando el procedimiento mostrado anteriormente y a seguir considerando el mismo ejemplo con una ventana de tiempo de 1,5ms (15.000 muestras), pero ahora se simuló con una frecuencia de muestreo de 2,5M muestras / s para así poder realizar una comparación de cuál método es más estable al cambio en la frecuencia de muestreo.

Figura 15 Fuente: Propia.

Figura 16 Fuente Propia.

Vemos como Wavelet sigue siendo mucho más estable a comparación de Fourier en baja frecuencia, como en el caso anterior, la Fig. 16 muestra un zoom realizado a la Fig. 15.

Se puede apreciar cómo la respuesta con Fourier sigue mostrando una forma oscilante, mientras que la respuesta con Wavelet ofrece una respuesta más precisa, resultado que ya se había visualizado en la variación de ventana de análisis.