A Note on the Range of a Derivation

Una nota sobre el rango de una derivada

Let H be a separable infinite dimensional complex Hilbert space, and let L(H) denote the algebra of all bounded linear operators on H into itself. Given A, B ∈ L(H), define the generalized derivation δ_{A, B} ∈ L(L(H)) by δ_{A, B}(X) = AX - XB. An operator A ∈ L(H) is P-symmetric if AT = TA implies AT^* = T^* A for all T ∈ C₁(H) (trace class operators). In this paper, we give a generalization of P-symmetric operators. We initiate the study of the pairs (A, B) of operators A, B ∈ L(H) such that R(δ_{A, B}) ^W* = R(δ_{A, B}) ^W*, where R(δ_{A, B}) ^W* denotes the ultraweak closure of the range of δ_{A, B}. Such pairs of operators are called generalized P-symmetric. We establish a characterization of those pairs of operators. Related properties of P-symmetric operators are also given.

Sea H un espacio de Hilbert separable sobre los complejos y denote por L(H) al álgebra de los operadores acotados de H es sí mismo. Dados A, B ∈ L(H), defina la derivada generalizada δ_{A, B} ∈ L(L(H)) como δ_{A, B}(X) = AX - XB. Un operador A ∈ L(H) es P-simétrico si la condición AT = TA implica que AT^* = T^* A para todo T ∈ C₁(H) (los operadores de clase de traza). En este artículo presentamos una generalizacion de los operadores P-simétricos. En este artículo estudiamos pares (A, B) de operadores A, B ∈ L(H) tales que R(δ_{A, B}) ^W* = R(δ_{A, B}) ^W*, donde R(δ_{A, B}) ^W* denota la clausura ultradébil del rango δ_{A, B}. A esta clase de operadores los llamamos operadores P-simétricos generalizados. En este artículo damos una caracterización de esta clase de pares de operadores y presentamos propiedades de los operadores P-simétricos generalizados.