Normality of k-Matching Polytopes of Bipartite Graphs

Normalidad del politopo de k-emparejamientos de grafos bipartitos

The k-matching polytope of a graph is the convex hull of all its matchings of a given size k when they are considered as indicator vectors. In this paper, we prove that the k-matching polytope of a bipartite graph is normal, that is, every integer point in its t-dilate is the sum of t integers points of the original polytope. This generalizes the known fact that Birkhoff polytopes are normal. As a preliminary result, we prove that for bipartite graphs the k-matching polytope is equal to the fractional k-matching polytope, having thus the H-representation of the polytope. This generalizes the Birkhoff-Von Neumann Theorem which establish that every doubly stochastic matrix can be written as a convex combination of permutation matrices.

El politopo de k-emparejamientos de un grafo es la envolvente convexa de todos sus emparejamientos de un tamaño dado k cuando estos son considerados como vectores indicadores. En este artículo, demostramos que el politopo de k-emparejamientos de un grafo bipartito es normal, es decir, todo punto entero en su t-dilatación es la suma de t puntos enteros del politopo original. Esto generaliza el resultado conocido de que los politopos de Birkhoff son normales. Como resultado preliminar, demostramos que para grafos bipartitos el politopo de k-emparejamientos es igual al politopo de k-emparejamientos fraccional, teniendo así la H-representación del politopo. Esto generaliza el Teorema de Birkhoff-Von Neumann que establece que toda matriz doblemente estocástica puede ser escrita como una combinación convexa de matrices de permutación