Une caracterisation des anneaux fortemen réguliers

On montre que la classe des anneaux fortement réguliers introduits et étudies par Arens-Kaplansky [1] coincide avec celle des anneaux dont le demi-groupe multiplicatif est inverse, donc coincide avec celle des anneaux réguliers dont l'ensemble de leurs idempotents est commutatif.

1. Soit A un anneau. Si A possede un unique élément unité à droite e, alors e est aussi une unite à gaucne. En effet, soit U_d(A) l'ensemble des elements unites à droite de A. Pour chaque e (pertenece) U_d  (A), soit P_e  l'applica tion de  A  dans  A  telle que

P_e (x) = ex - x + e. On a    

(a) P_e (A) (inclusión) U_d (A). En effet, pour tout y  (pertenece) A on a   y ^Pe (x) = y,  

(b) la restriction de P_e a U_d (A)  est injestive.

En effet, soient  e´, e" (pertenece) U_d (A), alors P_e (e') = P_e (ee") entraíne

ee´ - e´+ e = ee" – ee" + e,

mais ee´ e = ee" donc  e´ = ee".  

Suppasons U_d (A) = e. D'aprés  (a)  pour tout  

x (pertenece) A on a P_e (x) = e,  c´ est-à.-dire  ex = x.  Par conséquent e est un élément unité de A.