A counterexample in the theory of linear singularly perturbed systems

 In this note we compare the bounded solutions of the linear singularly perturbed system ε X' = A (t) x + f (t), with the solutions of the algebraic system A (t) x + f (t) = 0.  Here A and  f  are bounded C¹ functions with bounded derivatives. We assume that the eigenvalues of A (t) satisfy | R e λ (t )| ≥ y > 0. It is known that for small ε, the following estimate is valid hasta ||kε (f) + A-1 f || ≤  εL || f ||₁, where kε(f) denotes the bounded solution of ε X'  = A(t)x +f (t), || f || = sup R| f(t)|, || f ||₁ : = || f || +|| f´ ||  and L is a constant.

We prove that this estimate cannot be replaced by ||k_ε (f) + A^-1 f || ≤  εL || f ||. Futhermore, if, instead of the condition that A be C¹, we require that the function be bounded and Lipschitz continuous, we show that the same estimate, ||k_ε (f) + A^-1 || ≤  εL || f ||₁, can be obtained.

En esta nota se comparan las soluciones acotadas del sistema lineal singularmente perturbado ε X' = A (t) x + f (t), con las soluciones del sistema algebráico A (t) x + f (t) = 0. Aquí  A y f  son funciones acotadas de clase C¹, con derivadas acotadas. Suponemos además que los valores propios de A (t) satisfacen la condición | R e λ (t)| ≥ y > 0. Es sabido que para ϵ C¹ y ε suficientemente pequeños vale la siguiente estimación: ||k_ε (f) + A^-1 || ≤  εL || f ||₁, donde k_ε (f) denota la única solución acotada de ε X'  = A(t)x +f (t), || f || = sup R| f(t)|, || f ||₁ : = || f || +|| f´ || y L es una constante que no depende de f ni de ε.  Probaremos que esta estimación no puede ser extendida hasta ||k_ε (f) + A^-1 f || ≤  εL || f ||. Además, si en lugar de exigir que A sea de clase C¹ pedimos que A sea una función de Lipschitz acotada, entonces sigue siendo válida la estimación ||k_ε (f) + A^-1 || ≤  εL || f ||₁.