El problema de Stekloff para métricas rotacionalmente invariantes en la bola

The Stekloff Problem for Rotationally Invariant Metrics on the Ball

Sea (B_r,g) una bola de radio r>0 en Rⁿ (n≥ 2) dotada con una métrica g rotacionalmente invariante ds²+f²(s)dw², donde dw² representa la métrica estándar sobre S^n-1, la esfera unitaria (n-1)--dimensional. Asumamos que B_r tiene curvatura seccional no negativa. En este artículo demostramos que si h(r)>0 es la curvatura media sobre ∂ B_r y ν₁ es el primer valor propio del problema de Stekloff, entonces ν ₁ ≥ h(r). La igualdad (ν ₁ = h(r)) se tiene sólo si ges la métrica estándar de Rⁿ.

Let (B_r,g) be a ball of radius r>0 in Rⁿ (n≥ 2) endowed with a rotationally invariant metricds²+f²(s)dw², where dw² represents the standard metric on S^n-1, the (n-1)--dimensional unit sphere. Assume that B_r has non--negative sectional curvature. In this paper we prove that ifh(r)>0 is the mean curvature on ∂ B_r and ν₁ is the first eigenvalue of the Stekloff problem, thenν₁ ≥ h(r). Equality (ν ₁ = h(r)) holds only for the standard metric of Rⁿ.