Conditions for a realization functor to commute with finite products

Sea ∆ la categoría de conjuntos [n] = {O,1,2, ... ,n} con funciones monótonas como morfismos; ∆^o S  la categoría de conjuntos simpliciales (funtores contravariantes ∆ →  Sets y Y: ∆ → Top el funtor que envía [n] a  ∆ (n), el n-simplejo canónico de R ⁿ⁺¹, entonces es bien sabido como construir un par de funtores adjuntos asociados a Y: la realización geometrica Ry: ∆ ^oS→ Top y el funtor singular  Sy:Top  ∆^oS. El objeto de este artículo es: (1) construír generalizaciones de Ry y Sy para cualquier funtor Y: δ → A donde δ es una categoría arbitraria y A tiene coproductos y sumas amalgamadas ("pushouts II), (2) mostrar que cualquier par de funtores adjuntos R: δ^oS → A  y  S: A → δ^oS proviene de tal construcción para algún y (3), usando lo anterior, hallar condiciones para que R conmute con productos finitos.

If  ∆ is the category whose objects are the sets {0,1,..., n} with weakly monotonic functions as morphisms, ∆^o  is the opposite category, ∆^o S is the category of simplicial sets (covariant functors ∆^o → Sets),  and  Y: ∆ →Top is the functor which sends {O,1, ... ,n} to the topological ∆ (n) (standard n-simplex in Rⁿ⁺¹), then it is well known the existence of a pair of adjoint functors: the geometric realization Ry: ∆^o S→ Top and the singular complex functor Sy:Top →∆^o S, both built by ststematic manipulation of the ∆(n)'s. The purpose of this paper is: (1) to construct generalizations of Ry and Sy for any functor Y: δ → A, where A is arbitrary and A is a category having coproducts and pushouts, (2) to show that any pair of adjoint functors R: δ^oS→ A and S:A→ oδ^oS comes from such constructions, and (3) as a result, to find conditions for R to commute with finite products.