Precisiones sobre la derivada y la anti-derivada de la raíz de una potencia entera

Precisions of the derivate and anti-derivative of the root of an integer power

En este artículo, se construyen de manera detallada, fórmulas para calcular la derivada y la anti-derivada de funciones de la forma f(x) = sqrt[n]{x^{m}}, donde m es un entero y n es un entero positivo. Se prueba que estas fórmulas son válidas en todo el dominio de la función. Se muestra que si sqrt[n]{x^{m}} = (x^{m})^{frac{1}{n}} = x^{frac{m}{n}}, donde m y n son pares y x es negativo, entonces las fórmulas tradicionales, D_{x}[x^{r}] = rx^{r-1} y int x^{r} dx = frac{x^{r+1}}{r+1} + C, fallan. Finalmente, las fórmulas tradicionales son modicadas, cuando m y n son pares y x es negativo.

In the present article, formulas for calculating the derivatives and antiderivatives of functions of the form f(x) = sqrt[n]{x^{m}}, where m is an integer and n is positive integer,  are constructed in detail. These formulas are shown to be valid for the entire domain of the corresponding function. It is shown that if sqrt[n]{x^{m}} = (x^{m})^{frac{1}{n}} = x^{frac{m}{n}}, where m and n are even and x is negative, then the traditional formulas, D_{x}[x^{r}] = rx^{r-1} and int x^{r} dx = frac{x^{r+1}}{r+1} + C, fail. Finally, traditional formulas are modified, when m and n are even and x is negative.