FLAT LIKELIHOODS: SIR-POISSON MODEL CASE

VEROSIMILITUDES PLANAS: CASO DEL MODELO SIR-POISSON

Systems of differential equations are used as the basis to define mathematical structures for moments, like the mean and variance, of random variables probability distributions.  Nevertheless, the integration of a deterministic model and a probabilistic one, with the aim of describing a random phenomenon, and take advantage of the observed data for making inferences on certain population dynamic characteristics, can lead to parameter identifiability problems. Furthermore, approaches to deal with those problems are usually inappropriate. In this paper, the shape of the likelihood function of a SIR-Poisson model is used to describe the relationship between flat likelihoods and the identifiability parameter problem.   In particular, we show how a flattened shape for the profile likelihood of the basic reproductive number R₀, arises as the observed sample (over time) becomes smaller, causing ambiguity regarding the shape of the average model behavior.  We conducted some simulation studies to analyze the flatness severity of the R₀ likelihood, and the coverage frequency of the likelihood-confidence regions for the model parameters. Finally, we describe some approaches to deal the practical identifiability problem, showing the impact those can have on inferences.  We believe this work can help to raise awareness on the way statistical inferences can be affected by a priori parameter assumptions and the underlying relationship between them, as well as by model reparameterizations and incorrect model assumptions.

Sistemas de ecuaciones diferenciales son usados como base para definir estructuras matemáticas para momentos, como la media y la varianza, de distribuciones de probabilidad de variables aleatorias. Sin embargo, integrar un modelo determinista con uno de probabilidad, para representar un fenómenos aleatorio y aprovechar datos observados de dicho fenómeno para hacer inferencia sobre características de la dinámica poblacional, puede producir problemas de identificabilidad de parámetros para la muestra observada. Más aún, dichos problemas suelen ser tratados de forma inapropiada. En este artículo utilizamos la forma de la función de verosimilitud del modelo SIR-Poisson para describir la relación entre funciones de verosimilitud planas y el problema de identificabilidad práctica de parámetros. En particular, mostramos cómo la forma aplanada de la función de verosimilitud perfil del número reproductivo básico R₀ aparece a medida que la muestra observada (en el tiempo) se reduce y produce ambigüedad en la forma del comportamiento medio del modelo. Efectuamos diversos estudios de simulación con el fin de analizar la severidad de la planura de la verosimilitud de R₀ y la frecuencia de cobertura de las regiones de verosimilitud-confianza de los parámetros del modelo. Finalmente, describimos algunos tratamientos que se han utilizado para abordar el problema de identificabilidad práctica y mostramos el impacto que éstos pueden tener en las inferencias. Consideramos que este trabajo ayudará a tomar conciencia sobre cómo las inferencias estadísticas se ven afectadas por suposiciones a priori sobre los parámetros y la relación subyacente entre ellos, así como por reparametrizaciones del modelo y por suposiciones incorrectas sobre el mismo