Carta de control T de ARL insesgado con parámetro estimado

ARL unbiased control T chart with estimated parameter

Usualmente las cartas de control se construyen con estimaciones de los parámetros asociados a la distribucion de la variable o estadístico que se monitorea; sin embargo, se asume que estos son conocidos y en consecuencia, no se consideran los efectos que las estimaciones tienen sobre el desempeño de la carta.
En este trabajo se estudian los efectos de la estimación del parámetro de la carta t, la cual es usada para monitorear el tiempo entre eventos, asumiendo que esta variable sigue una distribucion exp(lambda_0). Para ello, se hizo un análisis inicial de la longitud promedio de corrida (ARL) cuando se usa un valor estimado para
este parámetro. El análisis preliminar permitió ver que la carta es de ARL sesgado; es decir, su ARL no es máxima cuando el proceso está en control. Además, se pudo mostrar que cuando lambda_0 es estimado, esta estimación afecta signicativamente la tasa de falsa alarma y la ARL cuando el tamaño de la muestra usada
para esta estimación es pequeña. En consecuencia, se estudian y proponen correcciones de los límites de control, con el fin de obtener una carta de ARL insesgado. Se consideró la construcción de límites de control con probabilidades de colas con valores nominales iguales y diferentes y se trabajó con dos criterios de optimización en cada caso, en el primero se hallaron correcciones tales que la carta fuera de ARL insesgado y su valor en control igual a una cantidad deseada; en el segundo criterio, además de buscar correcciones
para lograr una carta de ARL insesgado, se buscó alcanzar una tasa de falsa alarma deseada. Los resultados sugieren que cuando se corrigen los límites, es mejor fijar la ARL en lugar de la tasa de falsa alarma, sin embargo, es indiferente denir los límites con colas nominales de igual o distinta probabilidad, de la misma forma, resulta indiferente la elección de uno u otro estimador entre los dos que fueron considerados en este artículo.

The control charts are usually constructed with estimates of the parameters associated to the distribution of the variable or statistic being monitored; however, it is assumed that these parameters
are known, and therefore the efects that estimates have on the performance of the chart are disregarded. This paper studies the eects of the estimation of the parameter of the chart t, which is used to monitor the time between events, assuming that this variable follows a distribution exp(lambda_0). For this, an initial analysis of the average run length ARL for the chart was made when lambda_0 is an estimated value for this parameter. The preliminary analysis showed that the chart in either case is not of ARL unbiased, it means that its ARL is not maximized when the process is in control. In addition, it was shown that when lambda_0 is estimated, this estimation afects signicantly the false alarm rate and the ARL when the sample size used for this estimation is small. Consequently, corrections to the limits of control are studied and proposed in order to obtain a chart of ARL unbiased. The construction of limits were considered with probabilities of tails with equal and diferent nominal values, two optimization criteria were taken into consideration in each case, in the first criterion, corrections were found such that the chart be of ARL unbiased and also the ARL in control satisfying a desired value; in the second criterion, not only looked for corrections to achieve an unbiased
ARL but also sought to achieve a desired false alarm rate. The results suggest that when estimating the parameter and correcting the limits, it is better to set the ARL instead of the false alarm rate, however, it is irrelevant to dene the limits with probabilities of tails with equal nominal values or dierent, in the same way, the choice of one or another estimator among the two that were considered in this article is indiferent.