Problema de Cauchy asociado a la ecuación Kdv sobre espacios de Sobolev con peso

Cauchy problem for Kdv equation in weighted Sobolev spaces

En este trabajo se aborda, de una forma alternativa a las ideas sugeridas por Fonseca, Linares y Ponce (2015), el buen planteamiento local del problema de Cauchy asociado a la ecuación Korteweg-de Vries

$$\begin{equation*} \left\{ \begin{array}{ccc} \partial_t u(x,t) + \partial_x^3u(x,t) + u(x,t)\partial_x u(x,t) =0, & & x,t\in \R. \\ \hspace{54mm}u(x,0)=u_0(x). \end{array} \right.\end{equation*}$$ Con base en la fórmula de Duhamel y utilizando el teorema de puntofijo de Banach se demuestra la existencia y unicidad de solución en un subconjunto del espacio de Sobolev con peso $Z_{s,r}:= H^s(\R)\cap L^2(|x|^rdx)$. Para estafinalidad se emplean estimativas lineales sobre el semigrupo unitario asociado y su derivada de Stein, argumentos
similares a las ideas de Kenig, Ponce y Vega y un lema de interpolación de Nahas y Ponce. La dependencia continua del dato inicial $u_0$ se deriva directamente del método empleado.

In this work we will face, in an alternative way to the one performed by Fonseca, Linares and Ponce (2015), the local well-posedness of the Cauchy problem associated to the Korteweg-de Vries equation
$$\begin{equation*} \left\{ \begin{array}{ccc} \partial_t u(x,t) + \partial_x^3u(x,t) + u(x,t)\partial_x u(x,t) =0, & & x,t\in \R. \\ \hspace{54mm}u(x,0)=u_0(x). \end{array} \right. \end{equation*}$$
Based in the Duhamel's formula and using the Banach fixed point theorem we are going to show the existence and uniqueness of solution in a subset of the weighted Sobolev space $Z_{s,r}:= H^s(\R)\cap L^2(|x|^rdx)$. To this end, we will use linear estimates over the unitary semigroup and it's Stein derivative; arguments based on Kenig, Ponce y Vega's ideas and an interpolation lemma due to Nahas and Ponce. The continuous dependence on the initial data is obtained directly from the used method.