COTAS DE LOS ACOPLES CUÁRTICOS DEL POTENCIAL DE HIGGS EN UN MODELO EXTENDIDO POR DOS SINGLETES

BOUNDS ON THE QUARTIC COUPLINGS OF THE HIGGS POTENTIAL IN A MODEL EXTENDED BY TWO SINGLETS

En este trabajo se presentan los métodos para calcular las cotas tanto superiores como inferiores de los parámetros cuárticos del potencial de Higgs aplicando el método LQT y criterios de positividad respectivamente. Se propone una extensión del Modelo Estándar minimal mediante dos campos escalares singletes complejos, uno o ambos candidatos a  materia oscura, determinando restricciones a los parámetros cuárticos escalares.

A review on the methods to computing bounds from above as well as below of the quartic couplings of the Higgs potential is presented applying the LQT method and positivity criterions respectively. It is proposed an extension of the minimal standard model by two scalar complex singlet fields, one or both dark matter candidates determining the bounds of the scalar quartic couplings.

Roberto E. Martínez, Fredy A. Ochoa, Cristian F. Sierra

Departamento de Física, Universidad Nacional de Colombia, Ciudad Universitaria, Bogotá D.C., Colombia.

(Recibido: Febrero/2015. Aceptado: Junio/2015)

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Resumen

Palabras clave: Física del bosón de Higgs, Materia oscura.

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Abstract

Keywords: Higgs boson Physics, Dark Matter.

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1. Introducción

En el marco de una teoría cuántica de campos con rompimiento espontáneo de la simetría, los parámetros λi de la parte cuártica del potencial de Higgs tendrán cotas superiores e inferiores debido a requerimientos de unitariedad y estabilidad respectivamente. En el trabajo desarrollado por Lee, Quigg y Thacker [1] se presenta un método para calcular las cotas superiores, aunque originalmente fue propuesto para imponer límites al valor de la masa del bosón de Higgs. El método de LQT se basa en la condición de unitariedad de la matriz de dispersión S en el subespacio de procesos de dispersión a dos cuerpos a nivel árbol (orden cero) mediante el teorema óptico y la sustitución en el límite de altas energías (en el contexto de una teoría renormalizable) de las componentes longitudinales de los campos vectoriales bosónicos masivos, por sus respectivos bosones de Goldstone mediante el teorema de la equivalencia [2-5].

Por otro lado, las cotas inferiores pueden calcularse por diversos métodos basados en positividad [6] y copositividad [7] para asegurar la estabilidad del vacío y evitar posibles efectos de tunelamiento. El potencial de Higgs del Modelo Estándar no es estable a la escala de las teorías de gran unificación (GUT) si la masa del bosón de Higgs es tal que M_h < 128GeV ya que el acople cuártico del bosón de Higgs se hace negativo por debajo dicha escala [8]. Así, la estabilidad del vacío del modelo puede mejorarse extendiéndolo mediante campos escalares [9-11]. Además, estos campos escalares surgen como candidatos naturales a materia oscura tipo WIMP's (Weakly Interacting Massive Particles), en particular extensiones con dos campos singletes reales ya han sido propuestos en la literatura recientemente [12, 13]

Este trabajo se estructura como sigue: primero se desarrolla el método general LQT basado en el teorema óptico y el teorema de equivalencia y se aplica al Modelo Estándar y al modelo extendido por dos singletes, luego se aplica el método para las cotas por estabilidad de [6] al modelo extendido y se concluye con una discusión sobre las posibles implicaciones y aplicaciones de dichas cotas.

Teorema óptico

La expansión en ondas planas para la matriz de un proceso dispersivo de escalares con momentos se escribe como

donde s, t, u son las variables de Mandelstam — en particular S = (p₁+p₂)² (con c = 1)— , a_l(s) es la amplitud de la onda l y P_l(cos ф) son los polinomios de Legendre. La sección eficaz diferencial de dispersión estará dada por

Integrando sobre el ángulo sólido

usando la ortogonalidad de los polinomios de Legendre,

la sección eficaz total será

El teorema óptico es simplemente una forma de escribir la condición de unitariedad de la matriz de dispersión en términos de la matriz . Con S = 1 + _iT se tendría

La expresión (5) se escribe en términos de la matriz expandiendo sobre un conjunto completo ortonormal de estados y mediante la relación

así,

omitiendo la función delta , se tiene

expresión que puede abreviarse como,

La figura (1) representa la ecuación (9) en diagramas de Feynman.

Para el caso en el que los momentos iniciales son iguales a los finales, la expresión (8) se reduce a

donde es la energía en el centro de masa y PCM es el momento de cualquiera de las partículas en el centro de masa, por ejemplo, la partícula 1, así . De esta manera, reemplazando (1) y (4) en (10),

lo cual es la ecuación de un círculo en el plano con radio ½ centrada en (0,½), Así, puede mostrarse que

La amplitud al(s) de la onda parcial puede invertirse de (1) obteniendo

Tomando la primera onda parcial (l = 0) y haciendo las masas de las partículas cero (bosones de Goldstone) se tiene [14]

donde Q son los acoples de cuatro puntos para el proceso dispersivo son los vértices trilineales del Higgs a dos escalares, para procesos con o sin el canal t (con o sin el canal u).

A altas energías puede verse de (13) que la contribución dominante será la de los acoples cuárticos, de esta manera la restricción por unitariedad a nivel árbol se reduce a

Teorema de equivalencia

En una teoría con rompimiento espontáneo de la simetría, los bosones de Goldstone y sus respectivos bosones de gauge se relacionan mediante los gauge

Este término de "gauge fixing" puede verse como una función delta en el espacio de las funcionales, así, intuitivamente, en el espacio de momentos esto implica [15] Por otro lado, la componente longitudinal del vector de polarización

se hace cada vez más paralela a cuando , así

De esta manera, las componentes longitudinales de los bosones de gauge pueden reemplazarse a altas energías por sus bosones de Goldstone asociados

(Fig 2). Para una deducción rigurosa del teorema basado en las identidades de Ward-Takahashi véase por ejemplo [16].

Figura 2. Teorema de equivalencia en diagramas de Feynman.

Método de LQT

Con el objetivo de determinar las cotas superiores de los parámetros cuárticos λi de un potencial de Higgs generalizado, es conveniente trabajar con los autovalores de la matriz Q.

■ Modelo Estándar

En el caso más simple, en el marco del Modelo Estándar minimal, el potencial de Higgs está dado por

donde

y son los bosones de Goldstone y h es el bosón de Higgs. Expandiendo el potencial, la base de acoples cuárticos estará dada por donde se introduce el factor de √2 para los casos de partículas indistinguibles. Nótese que debido a la conservación de la carga, los canales cargados no se acoplan entre sí [14]. Así, en virtud del teorema de equivalencia, se encuentran las reglas de Feynman (Fig 3). Figura

Figura 3. Reglas de Feynman para la parte cuártica escalar del Modelo Estándar.

La matriz Q será

cuyos autovalores serán 3=2 y 1=2 (cinco veces degenerado). Aplicando la condición de unitariedad (14) se tendrá

Modelo Estándar extendido por dos singletes escalares complejos.

En el modelo de [17] se propone una extensión del Modelo Estándar en el marco de un THDM mediante dos campos complejos escalares singletes. Sin embargo, una extensión minimal del Modelo Estándar podría consistir en un doblete y dos singletes. Así, bajo las simetrías consideradas en [17], la parte cuártica del potencial de Higgs será

con la parte cuadrática dada por

donde Los campos se representarán como

donde σ se representará como un singlete complejo. Debido a que entonces no hay rompimiento de la simetría en la dirección del campo θ₀ y por tanto h0i=0. Esta condición no permite la existencia de acoples trilineales y por tanto el campo θ₀ es estable. Por esta razón se escoge como el candidato a materia oscura. Siguiendo el análisis de unitariedad hecho para el de dos dobletes en [18] y de acuerdo con el méetodo de LQT, la matriz de acoples cuárticos Q se expresa como una matriz de 12 12 con tres matrices diagonales por bloques independientes Q1(4 4), Q2(6 6) y Q3(2 2). En la base (h1z2; h2z1; z1z2; h1h2) la matriz Q1 será

Q2 (6x6) se escribirá en la base

Los autovalores analíticos de Q₂ sería 2λ₁ (dos veces degenerado) y 2λ₂. Los restantes tres, b_j , j = 1; 2; 3, estarán dados por las soluciones de la ecuación cúbica

Finalmente en la base (h₁z₁; h₂z₂) se obtendrá

Así, las cotas superiores por unitariedad para los parámetros cuárticos de este modelo estarán dadas por (14),

Cotas por estabilidad del vacío

Para asegurar un vacío estable, el potencial escalar debe estar acotado por abajo. En el Modelo Estándar es suficiente con que el parámetro cuártico escalar cumpla λ> 0. En teorías con más grados de libertad escalares, el potencial debe estar acotado por debajo en todas las direcciones en el espacio de campos. Siguiendo el método de [6], el potencial de Higgs más general V (i) es una combinación lineal de los términos

donde Estos productos pueden escribirse en términos de las matrices de Pauli como

con y r etiqueta a las matrices K para un producto de dos campos (suma sobre índices repetidos se sobreentiende).

Por ejemplo, invirtiendo (31) para los campos se tendrá (simbólicamente se ha reemplazado )

De esta manera, el potencial se puede escribir como

En la base diagonal, , se tendrá

donde u será un multiplicador de Lagrange. Sea I el conjunto

con los elementos u defnidos como sigue. Inclúyase en I todos los u tales que Agréguese u = 0 a I si Considere
los autovalores Añadase a I siempre que sea finito y El potencial será estable si

esto es, la estabilidad estará dada únicamente por la parte cuártica del potencial.

Aplicando este método al modelo extendido por dos singletes se tendrá

con

Determinando la condición de estabilidad fuerte (39) mediante los multiplicadores de Lagrange del conjunto (38) se encuentra

Discusión y conclusiones

Al combinar las cotas obtenidas por unitariedad con las obtenidas por estabilidad, se puede obtener un conjunto de desigualdades que restringen desde la teoría los parámetros λi de la parte cuártica del potencial de Higgs de un modelo dado. En este caso se obtiene (sin tener en cuenta los valores de en (28))

Estas condiciones pueden usarse para plantear límites a las masas de nuevos bosones de gauge resultantes de una teoría de altas energías con más simetrías, como en el artículo original del método LQT [1] aplicado al Modelo Estándar. Además, pueden usarse para restringir las tazas de decaimiento teóricas de procesos dependientes de los acoples cuárticos como el decaimiento del Higgs a dos fotones y de éste a su vez delimitar el valor del acople trilineal del Higgs justo como en [18], obteniendo datos verificables en experimentos como el LHC. Finalmente, áestas condiciones por sí mismas determinan cotas superiores e inferiores a los acoples cuárticos de posibles candidatos a materia oscura en extensiones del Modelo Estándar como en [10-12].

Agradecimientos

Agradecemos al Departamento Administrativo de Ciencia,
Tecnología e Innovación (COLCIENCIAS) por el apoyo brindado.

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Referencias

[1] B. W. Lee, C. Quigg, and H. B. Thacker, Phys. Rev. D 16, 1519 (1977).
[2] J. M. Cornwall, D. N. Levin, and G. Tiktopoulos, Phys. Rev. Lett. 30, 1268 (1973).
[3] M. S. Chanowitz and M. K. Gaillard, Nucl. Phys. B261, 379 (1985).
[4] Y.-P. Yao and C.-P. Yuan, Phys. Rev. D 38, 2237 (1988).
[5] H. Veltman, Phys. Rev. D 41, 2294 (1990).
[6] M. Maniatis, A. von Manteuel, O. Nachtmann, and F. Nagel, Eur.Phys.J C48, 805 (2006).
[7] K. Kannike, Eur.Phys.J. C72, 2093 (2012), arXiv:1205.3781 [hep-ph] .
[8] G. Isidori, G. Ridolfi, and A. Strumia, Nucl.Phys. B609, 387 (2001).
[9] M. Kadastik, K. Kannike, A. Racioppi, and M. Raidal, JHEP 1205, 061 (2012).
[10] M. Gonderinger, H. Lim, and M. J. Ramsey-Musolf, Phys. Rev. D 86, 43511 (2012).
[11] C.-S. Chen and Y. Tang, JHEP 1204, 019 (2012).
[12] A. Abada, D. Ghaffor, and S. Nasri, Phys. Rev. D 83, 95021 (2011).
[13] A. Ahriche, A. Arhrib, and S. Nasri, JHEP 1402, 42 (2014), arXiv:1309.5615 [hep-ph] .
[14] A. Arhrib, (2000), arXiv:hep-ph/0012353 [hep-ph] .
[15] A. Dobado, J. R. Pelaez, and M. T. Urdiales, Phys.Rev. D56, 7133 (1997), arXiv:hep-ph/9702206 [hep-ph] .
[16] M. E. Peskin and D. V. Schroeder, An Introduction to quantum field theory (Addison-Wesley, Reading, MA, 1995).
[17] R. Martinez, J. Nisperuza, F. Ochoa, and J. P. Rubio, Phys.Rev. D89, 56008 (2014), arXiv:1303.2734 [hep-ph] .
[18] R. Martinez, J. Nisperuza, F. Ochoa, J. P. Rubio, and C. F. Sierra, (2014), arXiv:1411.1641 [hep-ph] .