MCMC Methods for Sample Generation from a New Bivariate Distribution

Métodos MCMC para generar muestras de una nueva distribución bivariada

This article introduces a novel bivariate probability distribution derived through a transformation-based approach, along with the closed-form expression of its l-th order joint moment. Although the distribution may be employed as a prior for the shape parameters of the Beta distribution, the main focus of this work lies in evaluating the convergence behavior of Markov Chain Monte Carlo (MCMC) algorithms designed to generate samples from this new distribution. A simulation strategy is analyzed, consisting of a Gibbs sampling scheme in which an adaptive random walk Metropolis-Hastings (ARWMH) algorithm is used to sample from one of the full conditional distributions, employing a four-parameter Beta distribution as the proposal. Convergence is assessed using diagnostics such as the effective sample size (ESS) and the potential scale reduction factor (R-hat). The results show that when the elements of the parameter vector ϕ differ, the empirical moments obtained from the chains approximate the theoretical values accurately. However, when all components of ϕ are equal, the estimates of variance and covariance deviate considerably, revealing a sensitivity to symmetry in the geometry of the new distribution. A brief application in a Bayesian context is also presented, in which the new distribution is used as a prior and the Beta distribution as the likelihood. This application confirms that the proposed sampling methods yield empirical moments that are consistent with the theoretical ones, thus supporting the validity of the strategy. The contributions of this study are relevant to the design, evaluation, and implementation of MCMC techniques for sampling from complex distributions in Bayesian inference.

Este artículo presenta una nueva distribución de probabilidad bivariada construida mediante una estrategia basada en transformaciones, junto con la expresión cerrada de su momento conjunto de orden l. Aunque esta distribución puede utilizarse como distribución a priori para los parámetros de forma de la distribución Beta, el enfoque principal del trabajo se centra en evaluar el comportamiento de convergencia de algoritmos Monte Carlo Cadenas de Markov (MCMC) diseñados para generar muestras aleatorias de dicha distribución. Se analiza una estrategia de simulación que consiste en un esquema de muestreo de Gibbs, en el cual se emplea un algoritmo Metropolis-Hastings con caminata aleatoria adaptativa (MHCAA) para generar muestras de una de las distribuciones condicionales completas, utilizando como propuesta una distribución Beta de cuatro parámetros. La convergencia se evalúa mediante diagnósticos como el tamaño efectivo de muestra (ESS) y el factor de reducción de escala potencial (R-hat). Los resultados muestran que, cuando los componentes del vector de parámetros ϕ son diferentes, los momentos empíricos obtenidos aproximan adecuadamente los valores teóricos. En contraste, cuando todos los componentes de ϕ son iguales, se evidencian desviaciones significativas en las estimaciones de la varianza y la covarianza, lo que sugiere sensibilidad ante configuraciones simétricas de la nueva distribución. Se presenta además una aplicación breve en el contexto bayesiano, usando la nueva distribución como a priori y la distribución Beta como verosimilitud, confirmando que las muestras generadas reproducen momentos a priori empíricos coherentes con los valores teóricos. Las contribuciones del estudio son relevantes para el diseño, evaluación e implementación de técnicas MCMC en contextos de inferencia bayesiana con distribuciones complejas.