SOBRE LA CONSTRUCCIÓN DEL MEJOR PREDICTOR LINEAL INSESGADO (BLUP) Y RESTRICCIONES ASOCIADAS

ABOUT THE BEST LINEAR UNBIASED PREDICTOR (BLUP) AND ASSOCIATED RESTRICTIONS

A través del modelo lineal clásico de Gauss-Markov, se caracteriza el modelo de efectos mixtos, se aplica la técnica de multiplicadores de Lagrange para obtener los mejores predictores lineales (BLUP) y se ilustran los resultados de Searle (1997), donde se encuentra que las sumas de los BLUP, cuando se evalúan sobre los efectos aleatorios (exceptuando las interacciones provenientes únicamente de efectos aleatorios), son iguales a cero, encontrándose con esto una analogía entre la reparametrización ∑-restricción que se hace sobre los modelos de efectos fijos y la forma general de la restricción que se hace sobre los modelos de efectos mixtos. Se lleva a cabo una ilustración en modelos cruzados con los resultados expuestos en Gaona (2000), donde se evaluó la ganancia de peso en novillos de ganado criollo sanmartiniano; adicionalmente para modelos jerárquicos se ilustra con los resultados presentados en Harville & Fenech (1985), correspondientes a mediciones de las ganancias en peso de un grupo de ovejos machos. Se observa de los resultados que en el modelo usual de análisis de varianza para modelos mixtos, ciertas sumas de los predictores lineales insesgados (BLUP), asociados a los efectos aleatorios, son iguales a cero si se tiene un modelo con una sola variable respuesta. Sin embargo, esta propiedad se pierde cuando se tienen evaluaciones diferentes en la misma unidad experimental, las cuales van a estar correlacionadas. Un caso diferente resulta en estudios longitudinales como se muestra empíricamente en la sección 5.3.

The mixed linear model is characterized using the classic linear model of Gauss-Markov. The multipliers of Lagrange are a tool to obtain the best lineal predictors (BLUP), we shown the results of Searle (1997), where some sums of the best linear unbiased predictors of random effects are zero. This characteristic is similar with the reparametrization ∑-restriction in the fixed linear models. We present an illustration based on results of Gaona (2000) in crossed classification with the data measured in young bulls sanmartiniano, and other example in hierarchical models with the results presented in Harville & Fenech (1985) corresponding to mensurations of weight of a group of male sheep. In the usual model of analysis of variance for mixed models, some sums of the unbiased lineal predictors (BLUP) associated to random effects are zero when the model has a single variable answer, however, this property does not work in cases in which there are different evaluations in the same experimental unit, which will be correlated.

Sobre la construcción del mejor predictor lineal insesgado (BLUP) y restricciones asociadas About the Best Linear Unbiased Predictor (BLUP) and Associated Restrictions LUIS ALBERTO LÓPEZ¹, DIANA CAROLINA FRANCO², SANDRA PATRICIA BARRETO³

¹ Universidad Nacional de Colombia, Departamento de Estadística, Bogotá. Profesor asociado. E-mail: lalopezp@unal.edu.co
² Universidad de la Sabana, Bogotá, Colombia. Profesora. E-mail: sotica82@yahoo.es
³ Titularizadora Colombiana S. A., Bogotá, Colombia. Asesora estadística. E-mail: pbarretos@unal.edu.co

---

Resumen

A través del modelo lineal clásico de Gauss-Markov, se caracteriza el modelo de efectos mixtos, se aplica la técnica de multiplicadores de Lagrange para obtener los mejores predictores lineales (BLUP) y se ilustran los resultados de Searle (1997), donde se encuentra que las sumas de los BLUP, cuando se evalúan sobre los efectos aleatorios (exceptuando las interacciones provenientes únicamente de efectos aleatorios), son iguales a cero, encontrándose con esto una analogía entre la reparametrización F-restricción que se hace sobre los modelos de efectos fijos y la forma general de la restricción que se hace sobre los modelos de efectos mixtos. Se lleva a cabo una ilustración en modelos cruzados con los resultados expuestos en Gaona (2000), donde se evaluó la ganancia de peso en novillos de ganado criollo sanmartiniano; adicionalmente para modelos jerárquicos se ilustra con los resultados presentados en Harville & Fenech (1985), correspondientes a mediciones de las ganancias en peso de un grupo de ovejos machos.
Se observa de los resultados que en el modelo usual de análisis de varianza para modelos mixtos, ciertas sumas de los predictores lineales insesgados (BLUP), asociados a los efectos aleatorios, son iguales a cero si se tiene un modelo con una sola variable respuesta. Sin embargo, esta propiedad se pierde cuando se tienen evaluaciones diferentes en la misma unidad experimental, las cuales van a estar correlacionadas. Un caso diferente resulta en estudios longitudinales como se muestra empíricamente en la sección 5.3.

Palabras clave: modelos de efectos mixtos, multiplicadores de Lagrange, diseño cruzado, modelos lineales jerárquicos.

---

Abstract

The mixed linear model is characterized using the classic linear model of Gauss-Markov. The multipliers of Lagrange are a tool to obtain the best lineal predictors (BLUP), we shown the results of Searle (1997), where some sums of the best linear unbiased predictors of random effects are zero. This characteristic is similar with the reparametrization F-restriction in the fixed linear models. We present an illustration based on results of Gaona (2000) in crossed classification with the data measured in young bulls sanmartiniano, and other example in hierarchical models with the results presented in Harville & Fenech (1985) corresponding to mensurations of weight of a group of male sheep. In the usual model of analysis of variance for mixed models, some sums of the unbiased lineal predictors (BLUP) associated to random effects are zero when the model has a single variable answer, however, this property does not work in cases in which there are different evaluations in the same experimental unit, which will be correlated.

Key words: Mixed linear models, Lagrange multiplier, Crossed design, Hierarchical linear models.

---

Texto completo disponible en PDF

---

Referencias

1. Andreoni, S. (1989), Modelos de efeitos aleatórios para análise de dados longitudinais nâo balanceados em relaçâo ao tempo, Master’s thesis, IME-USP.

2. Barroso, L. P. & Bussab, W. D. (1998), ‘Best Linear Unbiased Predictors in the Mixed Models with Incomplete Data’, Commun. Statist. Theory and Methods 27(1), 121–129.

3. Gaona, B. L. (2000), Aplicación de medidas repetidas para la predicción de efectos aleatorios en evaluación genética animal, Trabajo de grado, carrera de estadística, Universidad Nacional de Colombia.

4. Hartley, H. O. & Rao, C. R. (1967), ‘Maximun Likelihood Estimation for the Mixed Analysis of Variance Models’, Biometrika 54, 93–108.

5. Harville, D. A. & Fenech, A. P. (1985), ‘Confidence Intervals for Variance Ratio or for Heredability in an Unbalanced Mixed Linear Models’, Biometrics 41, 131–152.

6. Henderson, C. R. (1982), Statistical Methods in Animal Breeding, Guelph University, Canada.

7. Henderson, C. R. (1984), Estimation of Linear Models in Animal Breeding, Guelph University, Canada.

8. Jennrich, R. & Schluchter, M. (1986), ‘Unbalanced Measures Models with Structured Covariance Matrix’, Biometrics 42, 805–820.

9. McCulloch, C. E. & Searle, S. R. (2001), Generalized Linear and Mixed Models, John Wiley & Sons, New York.

10. McLean, R. A., Sander, W. L. & Stroup, W. W. (1991), ‘A Unified Approach to Mixed Linear Models’, The American Statistician 45, 54–64.

11. Searle, S. R. (1987), Linear Models for Unbalanced Data, John Wiley & Sons, New York.

12. Searle, S. R. (1997), ‘Built in Restrictions on Best Linear Unbiased Predictors (BLUP) of Random Effects in Mixed Models’, The American Statistician 51, 19–21.