UN MODELO LINEAL MIXTO ADAPTADO A UNA CADENA DE MARKOV CON ESPACIO DE ESTADOS ORDINAL. APLICACIÓN A DATOS SOBRE PROMEDIOS ACADÉMICOS DE ESTUDIANTES

A LINEAR MIXED MODEL ADAPTED TO A MARKOV CHAIN WITH ORDINAL STATE SPACE. APPLICATION TO DATA ABOUT GRADE POINT AVERAGE (GPA)

En este artículo se estudia una metodología para estimar los efectos de las covariables usando un modelo lineal mixto con intercepto aleatorio y respuesta policótoma categórica ordinal, bajo distintas especificaciones distribucionales de dicho efecto aleatorio. Esta metodología constituye una extensión de la propuesta hecha por Salazar et al. (2007), en la medida que en este último trabajo se presentan resultados obtenidos con un modelo donde la respuesta es nominal. Específicamente, se considera una cadena de Markov de k + 2 estados con dos estados absorbentes que compiten entre sí y k estados transitorios. Con este modelo se obtiene la función de verosimilitud de los datos. Luego, por medio de un estudio de simulación se evalúa el efecto sobre las estimaciones bajo distintas formas distribucionales para el efecto aleatorio. La maximización de la función de verosimilitud se lleva a cabo numéricamente utilizando el método de la cuadratura de Gauss en asocio con el algoritmo de Newton-Raphson. Finalmente, se ilustra la metodología usando datos sobre los promedios acumulados de estudiantes de la Universidad Nacional de Colombia, sede Medellín, recolectados entre 2005 y 2007.

In this paper we study methodology to estimate the effects of covariates using a linear mixed model with random intercept and polytomous ordinal categorical response, under different distributional specifications of this random intercept. This methodology represents an extension of the one proposed in Salazar et al. (2007), where it is presented results obtained using a model where the response is treated in a nominal scale. Specifically, it is considered a Markov chain with k + 2 states with two absorbing and k transient states. The likelihood function for the data is derived. Under this model and using a simulation study we assess the effects on the estimates under different distributional specifications for the random intercept. The likelihood function is maximized using the Gauss quadrature method in conjunction with the Newton-Raphson algorithm. Finally, we ilustrated the methodology using data about the Grade Point Average (GPA) from students of the Universidad Nacional de Colombia, at Medellín, collected from 2005 to 2007.

Un modelo lineal mixto adaptado a una cadena de Markov con espacio de estados ordinal. Aplicación a datos sobre promedios académicos de estudiantes A Linear Mixed Model Adapted to a Markov Chain with Ordinal State Space. Application to Data about Grade Point Average (GPA) ROGER JESÚS TOVAR1, JUAN CARLOS SALAZAR2

1Universidad de Córdoba, Facultad de Ciencias Básicas e Ingenierías, Departamento de Matemáticas y Estadística, Montería, Colombia. Profesor asistente. Email: rjesust@gmail.com 
2Universidad Nacional de Colombia, Facultad de Ciencias, Escuela de Estadística, Medellín, Colombia. Profesor asociado. Email: jcsalaza@unalmed.edu.co 

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Resumen

En este artículo se estudia una metodología para estimar los efectos de las covariables usando un modelo lineal mixto con intercepto aleatorio y respuesta policótoma categórica ordinal, bajo distintas especificaciones distribucionales de dicho efecto aleatorio. Esta metodología constituye una extensión de la propuesta hecha por Salazar et al. (2007), en la medida que en este último trabajo se presentan resultados obtenidos con un modelo donde la respuesta es nominal. 
Específicamente, se considera una cadena de Markov de k+2 estados con dos estados absorbentes que compiten entre sí y k estados transitorios. Con este modelo se obtiene la función de verosimilitud de los datos. Luego, por medio de un estudio de simulación se evalúa el efecto sobre las estimaciones bajo distintas formas distribucionales para el efecto aleatorio. La maximización de la función de verosimilitud se lleva a cabo numéricamente utilizando el método de la cuadratura de Gauss en asocio con el algoritmo de Newton-Raphson. Finalmente, se ilustra la metodología usando datos sobre los promedios acumulados de estudiantes de la Universidad Nacional de Colombia, sede Medellín, recolectados entre 2005 y 2007.

Palabras clave: datos longitudinales, cadenas de Markov, regresión logística, cuadratura de Gauss.

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Abstract

In this paper we study methodology to estimate the effects of covariates using a linear mixed model with random intercept and polytomous ordinal categorical response, under different distributional specifications of this random intercept. This methodology represents an extension of the one proposed in Salazar et al. (2007), where it is presented results obtained using a model where the response is treated in a nominal scale. Specifically, it is considered a Markov chain with k+2 states with two absorbing and k transient states. The likelihood function for the data is derived. Under this model and using a simulation study we assess the effects on the estimates under different distributional specifications for the random intercept. The likelihood function is maximized using the Gauss quadrature method in conjunction with the Newton-Raphson algorithm. Finally, we ilustrated the methodology using data about the Grade Point Average (GPA) from students of the Universidad Nacional de Colombia, at Medellín, collected from 2005 to 2007.

Key words: Longitudinal data, Markov chains, Logistic regression, Gaussian quadrature.

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Texto completo disponible en PDF

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Referencias

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[Recibido en julio de 2008. Aceptado en septiembre de 2009]

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Este artículo se puede citar en LaTeX utilizando la siguiente referencia bibliográfica de BibTeX:

@ARTICLE{RCEv32n2a03, 
    AUTHOR  = {Tovar, Roger Jesús and Salazar, Juan Carlos}, 
    TITLE   = {{Un modelo lineal mixto adaptado a una cadena de Markov con espacio de estados ordinal. Aplicación a datos sobre promedios académicos de estudiantes}}, 
    JOURNAL = {Revista Colombiana de Estadística}, 
    YEAR    = {2009}, 
    volume  = {32}, 
    number  = {2}, 
    pages   = {213-230} 
}