DE LA DIFERENCIA ENTRE OPERADORES HERMÍTICOS Y AUTOADJUNTOS

ON THE DIFFERENCE BETWEEN HERMITIAN OPERATORS AND SELF-ADJOINT OPERATORS

Discutimos la diferencia entre operador hermítico y operador autoadjunto, e ilustramos con ejemplos su relevancia en la descripción correcta de los sistemas cuánticos.

We explore the difference between the notions of hermitian and self-adjoint operator, illustrating with examples its relevance for the correct description of quantum systems.

Karen M. Fonseca¹, Fabián Torres–Ardila²

¹Departamento de Física, Facultad de Ciencias, Universidad Nacional de Colombia – Sede Bogotá, Carrera 30 Calle 45–03, CP 111321, Bogotá, Colombia.

²Center of Science and Mathematics in Context (COSMIC). University of Massachusetts, Boston, EEUU.

(Recibido: 07/2013. Aceptado: 09/2013)

Contacto: Karen Fonseca: kmfonsecar@unal.edu.co

Fabián Torres–Ardila: fabian.torres-ardila@umb.edu

Cómo citar: Fonseca, K. & Torres–Ardila, F., Momento 41, 15 (2013)

Resumen

Discutimos la diferencia entre operador hermético y operador autoadjunto, e ilustramos con ejemplos su relevancia en la descripción correcta de los sistemas cuánticos.

Palabras clave: Operadores hermíticos, Operadores autoadjuntos

Abstract

We explore the difference between the notions of hermitian and self–adjoint operator, illustrating with examples its relevance for the correct description of quantum systems.

Keywords: Hermitian Operators, Self–Adjoint Operators

Introducción

Una de las dificultades para el aprendizaje de la mecánica cuántica es su estructura formal, que la hace aparecer a veces como una rama más del análisis funcional [1]. Los físicos aprendemos una versión matemática simplificada de la mecánica cuántica [2] que, en general, resulta apropiada para nuestros propósitos.¹ La descripción cuántica usual de los sistemas físicos pasa por la definición de un espacio apropiado de estados (espacio de Hilbert ) y de operadores herméticos asociados a los observables físicos. Un operador puede expresarse, en una base apropiada, como una matriz , posiblemente infinita. Se dice que es hermítico si es igual a su adjunta, la conjugada de su traspuesta [5]. La identidad entre operadores hermíticos (que tienen espectro real) y autoadjuntos (que además garantizan una base para ) puede fallar cuando los operadores no se pueden definir en todo ; porque se debe tener en cuenta el dominio del operador. La diferencia entre las dos nociones es especialmente importante en modelos con interacciones singulares y en sistemas físicos con fronteras. En estos casos, el proceso necesario de imponer ciertas condiciones adicionales a los hamiltonianos, da lugar a tres posibilidades: hamiltonianos no autoadjuntos que no describen sistemas fí hamiltonianos ambiguos que pueden describir sistemas físicos no equivalentes; o hamiltonianos que brindan una única descripcion física. El propósito de este manuscrito es brindar las herramientas para entender por qué este proceso es necesario y por qué se tienen estas alternativas.

En la sección 1 se presenta la notación usada en el resto del artículo. Las nociones de adjunto de un operador (acotado y no acotado) y de operadores no acotados herméticos y autoadjuntos, son el tema de la sección 2. Los índices de deficiencia se introducen en las sección 3. En la sección 4 está dedicada a la dicusión de algunos ejemplos. Se discuten algunos ejemplos.

1. Notación empleada en este artículo

En este artículo empleamos, además de funciones de onda, la notación de Dirac. Sean  un operador lineal y un vector de estado, es decir, un elemento del espacio de Hilbert . Cuando el operador Â; actúa sobre el vector de estado (ket) produce un nuevo ket  o . Cuando el funcional lineal acotado (bra) actúa sobre el ket produce un número complejo,. Por el teorema de representación de Riesz [6, Cap. 1], a cada ket podemos asociarle un funcional lineal acotado (bra) . Denotaremos el funcional asociado con el vector por . Cuando el funcional actúa sobre un vector de estado , se obtiene un número, que es idéntico al producto interior entre los vectores y . En símbolos tenemos que . Dados dos vectores arbitrarios del espacio de Hilbert, digamos y , la norma de su producto escalar es finita, . Cuando representamos estados cuánticos a través de funciones de onda (x) estamos escogiendo como un espacio de Hilbert un espacio apropiado de funciones (complejas). El bra correspondiente a la función de onda ø(x) es el funcional Φ definido por Φ = que actúa sobre funciones de onda (x). La correspondencia entre funcionales y estados del espacio de Hilbert se ve a través de la siguiente definición de producto interno entre

2. El adjunto de un operador

Sea  un operador lineal definido en un espacio de Hilbert

Definición 1. El operador †, llamado el adjunto de Â, es el operador que a todo elemento del espacio de Hilbert ∈ asigna el vector † = tal que

¿Tiene sentido esta definición?, es decir (1) ¿existe acaso un vector con dicha propiedad? y (2) si existe ese vector, ¿es único? La respuesta afirmativa a ambas preguntas está garantizada por el teorema de representación de Riesz bajo la condición de que el operador  sea acotado, o sea un operador para el cual la razón

permanece finita para todos los vectores . En este caso, la acción de todo operador lineal y acotado se puede representar como el producto interno con un único elemento del espacio de Hilbert [6, Cap. 2, pag. 61]. Puesto que la definición (1) sólo tiene sentido para operadores acotados, extender la noción de operador adjunto a operadores no acotados requiere imponer condiciones adicionales, pues su existencia y unicidad no estarán garantizadas a priori.

2.1. Operadores no acotados

La definición (1) no es aplicable a operadores no acotados, muy importantes y comunes en aplicaciones físicas. Por ejemplo, el operador momento en una dimensión, , definido sobre el espacio de Hilbert de funciones complejas de cuadrado integrable L², no es acotado, ya que su espectro se extiende desde valores negativos arbitrariamente grandes hasta valores positivos arbitrariamente grandes. En forma equivalente, la razón (2) diverge para funciones de cuadrado integrable, tales como si x ∈ [0,1) y f(x) = 0 en caso contrario. En efecto, la norma de dada por , diverge logarítmicamente. Así, la derivada de la función f(x) no es de cuadrado integrable. Este ejemplo muestra que para el operador momento ni siquiera el lado derecho de la definición (1) tiene sentido, salvo que se reduzca el dominio del operador a vectores o funciones de onda ø tales que ø sea de cuadrado integrable. De hecho, el teorema de Hellinger–Toeplitz [7, Teorema 1, Pág. 15] afirma que un operador que satisfaga para todos los vectores y j del espacio de Hilbert es necesariamente un operador acotado. En consecuencia, para definir un operador no acotado  y su adjunto también debemos especificar sus dominios, (Â) y (Â), los subespacios de vectores sobre los cuales actúan. Por razones técnicas, primero debemos definir que se entiende por dominio denso.

Definición 2. Dado un operador  con dominio (Â), se dice que  es de dominio denso si para todo ∈ , existe una sucesión de vectores , con ∈ (Â) tal que → .

En forma equivalente, Â es de dominio denso si cualquier vector ∈ del espacio de Hilbert puede aproximarse por vectores contenidos en (Â), con error ε tan pequeño como se quiera en la norma de ; ( — , — ) > ε.

Definición 3 (Adjunto de un operador no acotado). Dado  con dominio (Â) denso, definamos el operador adjunto Â^† con dominio (Â^†) [6, Cap. 6]

(Â^†) = { ∈ : Existe ∈ tal que

Dado un elemento ∈ (Â^†), se define Â^† = .

La diferencia entre la antigua definición (1) y la nueva (3) es que el lado derecho de la igualdad (1) se restringe únicamente a los vectores contenidos en (Â;), en la nueva definición. Por otro lado, en la definición (3), la unicidad del elemento está garantizada porque el dominio de  es denso.

Ilustremos la definición (3) con unos ejemplos sencillos. Los operadores = 1, 2, 3, poseen dominios diferentes

donde el espacio de Hilbert L² ([0, 1]) es el conjunto de funciones complejas de cuadrado integrable en el intervalo [0, 1]. Recúerdese que una función f es AC (absolutamente continua) si su derivada f'(x) existe en casi todos los puntos, es decir fuera de un conjunto de medida de Lebesgue nula, y además f(x) obedece el teorema fundamental del cálculo: f(x) = f(a) + ∫^x_a f'(ξ)dξ. Para dos funciones absolutamente continuas ø ∈ (Â^†_j2 y ∈ (Â;_j) tenemos

En la ecuación (6) usamos la definición de adjunto e integramos por partes. Nótese que si deseamos que el último término del lado derecho sea igual a tienen que pasar dos cosas:

1. = 1,2,3, para todo ø ∈ (A^†_k).

2. para todo ∈ (A_k) y ø∈(A_j^†) con j = 1,2,3.

Combinando estas observaciones tenemos que (Â₂) ⊆ (Â₂^†) porque cuando ø y pertenecen a (Â₂), el término de frontera en (6) es cero. Ademaás, en (Â₂),. Ademaás (Â₁) ⊆ (Â₃^†) si ø ∈ (Â₁), la condición (0) = (1) = 0 asegura que el término de frontera en (6) sea cero. En forma similar al caso anterior, en (Â₁),. Desde el punto de vista de la física, con frecuencia es suficiente hacer una discusión de las condiciones de frontera adjuntas [8]. Sin embargo, puede mostrarse que las contenencias opuestas a 1. y 2. son también ciertas y por ese motivo Â₂ = Â₂^† y Â₃^† = Â₁ En una versión en línea de este artículo, mostramos que (Â₂^†) ⊆ (Â₂).

2.2. Operadores hermíticos y autoadjuntos

Usualmente los observables fundamentales de la mecánica cuántica se suponen hermíticos, pero se ignora el papel que juega el dominio del operador en la hermiticidad del operador. Este enfoque pragmático es problemático porque las siguientes reglas i) , pueden carecer de sentido para operadores no acotados. Por ejemplo, la regla iii) implica que para todo vector ø en , ø está contenido en (Â), lo cual no está garantizado en la definición de (el mismo argumento aplica para los dominios de los operadores adjuntos). Mostraremos además que ignorar el dominio de los operadores está en la raíz de la confusión entre operadores hermíticos (definidos a continuación) y autoadjuntos.

Definición 4. Decimos que un operador  con dominio (Â) denso es hermítico (también llamado simétrico) si

Es decir que  es hermítico si (Â) ⊆ (Â^†) y Â^† coincide con  sobre las funciones contenidas en (Â), o sea Â^†ø = Âø, ø ∈ (Â).

Como ejemplo, puede verse que si se combina la definición (7) con el cálculo mostrado en (6) los operadores Â₂ and Â₃ son ejemplos de operadores hermíticos porque el término se hace cero cuando y ø pertenecen a los dominios de esos operadores. Sin embargo esto no puede garantizarse si las funciones pertenecen a (A₁) (por tanto Â₁ no es hermítico).

Definición 5. Un operador  con dominio (Â) es autoadjunto si Â^† = Â. En otras palabras,  es autoadjunto si (Â) ⊆ (Â^†), (Â^†) ⊆ (Â) y Â^† coincide con  en los dominios comunes.

La diferencia esencial entre un operador hermítico y otro autoadjunto es que hermiticidad sólo requiere la condición (Â) ⊆ (Â^†), mientras ser autoadjunto requiere además (Â^†) ⊆ (Â). Normalmente en física se supone que hermítico y autoadjunto son conceptos idénticos, lo cual es verdad para operadores acotados definidos sobre todo el espacio . Sin embargo, existe una diferencia entre los dos conceptos para operadores no–acotados: Considérense los operadores hermíticos Â₃ y Â₂, de los cuales sólo Â₂ es autoadjunto. La ecuación de valores propios , sólo tiene la solución , cuando pertenece a (Â₃). Por el contrario, si pertenece a (Â₂), las soluciones de la ecuación de valores propios son , 0≤x≤1.

Este ejemplo muestra que operadores simétricos, como Â₃, pueden no tener autovalores no– triviales. Por el contrario, A₂ tiene no sólo autovalores reales no–triviales sino también autovectores asociados que generan el espacio de Hilbert. De hecho, el teorema espectral garantiza que, bajo ciertas condiciones, un operador autoadjunto acotado tiene un conjunto de autovectores que generan todo el espacio de Hilbert [6, Cap. 4]. Este teorema, que se puede extender a operadores no–acotados, permite definir funciones de operadores, tales como la exponencial del operador, exp(—iÂ), necesaria en la determinación de grupos unitarios usados para describir la evolución temporal de un sistema físico [9, Vol 1, cap. VIII].

Cabe anotar que si sólo se requiere que un operador tenga valores propios reales sólo es necesario que el operador sea hermítico. Esto puede ayudar a explicar por qué se confunden hermiticidad y autoadjuntez.

3. Índices de deficiencia y extensiones autoadjuntas

Veremos en esta sección bajo que condiciones se puede extender el dominio de un operador para asegurarse que es autoadjunto. Para ilustrar el problema, considérese el operador , que corresponde al hamiltoniano de una partícula en un potencial V(x) = —x⁴. Tomemos como dominio de el subespacio

Este dominio parece ser el dominio natural del operador para asegurarse que el hamiltoniano esté bien definido y que su rango esté en L² [10]. Sin embargo, mostraremos que en este dominio el operador no es ni siquiera simétrico. Considérense dos funciones ø, ∈ (). Después de integrar por partes dos veces, tenemos

Para que el operador sea simétrico, el término de frontera (9) tiene que hacerse cero para todas las funciones en el dominio de . Sin embargo, cuando se considera la función:

donde g(x) es una función suave elegida de tal forma que φ(x) es continua y diferenciable un número apropiado de veces en x = ±N, se puede mostrar que pertenece al dominio de . Calculando el término de frontera de (9) haciendo = ø = φ, tenemos . Esta expresión es igual a –i cuando x → ∞ y puesto que el término φ*(x)φ(x) tiende a cero en el límite x→ ∞ se tiene que el término de frontera no es cero y por tanto, ¡este dominio el operador no es simétrico!. Así que no puede considerarse como un hamiltoniano que describe un sístema físico. O sea que, contrario a la práctica común en física, ni siquiera usando el dominio natural del operador, se asegura que sea autoadjunto. Podría pensarse que la modificación apropiada del dominio puede convertir el operador en uno autoadjunto. Sin embargo, incluso eliminando los términos de frontera el operador no es autoadjunto [10, Vol. 2, pág. 146]. Surgen así dos preguntas: (1) ¿Bajo qué condiciones es posible modificar el dominio de de tal forma que el operador sea autoadjunto? (2) Cuando esto sea posible, ¿puede garantizarse que el operador autoadjunto así obtenido es único? Introduzcamos el concepto de extensión de un operador para facilitar la discusión.

Definición 6 (Extensión de un operador). Dados dos operadores  y con dominios (Â) y , se dice que  es una extensión de si ⊆ (Â) y  restringido a coincide con . En este caso se escribirá ≤  ² y con esta notación ≤  y  ≤ implican  = .

En este contexto, en referencia a los operadores definidos en los ejemplos de la sección anterior, Â₃ ≤ Â₁. En forma más general, de acuerdo con la definición (4), dado un operador simétrico denso cualquiera Â, su adjunto es una extensión  ≤ Â^†. Además si ≤  se tiene que Â^† ≤ ^†. En general, el adjunto de un operador simétrico no es una extensión autoadjunta del operador, pues ni siquiera tiene que ser simétrico. Por ejemplo el adjunto de Â₃^† es el operador no simétrico Â₁. Sin embargo, cuando la extensión de un operador simétrico por el operador adjunto, Â^†, es simétrica, se tiene que  ≤ Â^† implica que (Â^†)^† ≤ Â^†. Por tanto Â^† ≤ (Â^†)^† ≤ Â^†. Así que Â^† es una extensión autoadjunta de Â. Estos resultados dan lugar a las siguientes preguntas (1) dado un operador  arbitrario, ¿bajo qué condiciones se puede encontrar una extensión autoadjunta de Â? (2) ¿cómo se pueden clasificar las extensiones autoadjuntas de un operador?

3.1. Espacios de deficiencia

Dado un operador hermítico (simétrico) Â, se definen los llamados espacios de deficiencia, + y –,

La dimensión del espacio de deficiencia + (–) se conoce como índice de deficiencia n₊ (n_–). Estos espacios son relevantes porque

Lema 1. [10, Vol. 2, pág. 136] Dado un operador simétrico y cerrado³,

Esta descomposición ortogonal del teorema se debe tomar con respecto al producto interno del grafo dado por Sin embargo, con el ánimo de hacer más simple la presentación, no se enfatizará mucho la diferencia entre estos productos. Nótese además que esta descomposición ortogonal del dominio de Â^† da cierta justificación al nombre de espacios de deficiencia, pues estos podrían ser interpretados como los elementos que "le hacen falta" a (Â) para ser igual a (Â^8224;. Una importante consecuencia de este teorema es el llamado Segundo Teorema de von Neumann ([10, Vol 2, pág. 148], [11, Pág. 98[) que afirma

1. Cuando n₊ = 0 = n_–, el operador  tiene una única extensión autoadjunta; se dice que  es esencialmente autoadjunto,

2. Cuando n₊ > 0 o n_– > 0, pero n₊ ≠ n_–, entonces  no admite ninguna extensión autoadjunta, y

3. Cuando 0 < n₊=n_–=n<∞, Â admite una familia n²—paramétrica de extensiones autoadjuntas. Si v₊ y v_– , definidos como v_± = (|v_1±⟩...|v_n±⟩)^T, son bases ortonormales en el producto interno usual, y si a₊ y a_–, definidos como a_± = ( a_1±... a_n±)^T son vectores complejos de dimensión n, entonces las extensiones autodjuntas de Â, , tienen dominio, , siendo y unitaria.

En la prÁctica, si un operador tiene índices de deficiencia nulos, suponemos que se está considerando su extensión autoadjunta. Si los índices de deficiencia son iguales, pero diferentes de cero, no existe una extensión canónica. Los llamados operadores acotados por debajo Â, es decir que cumplen la propiedad tienen una extensión autoadjunta especial, la extensión de Friedrichs, [12, Pág. 70].

4. Ejemplos

4.1. Operador de momento en un intervalo finito

Retomemos el ejemplo del operador Â₃ definido en (5) cuyo adjunto puede mostrarse que es el operador ¹. Los espacios de deficiencia corresponden a las soluciones de

Las soluciones son de la forma A₊e^–x, en el caso del espacio de deficiencia + y A_–e^+x, en el caso del espacio de deficiencia –. Ambas soluciones son de cuadrado integrable en [0, 1[ y absolutamente continuas y por lo tanto pertenecen al dominio de Â₁. De acuerdo con el teorema de von Neumann, el conjunto de extensiones autoadjuntas esta determinado por una familia uniparamétrica. Los espacios de deficiencia ± están dados por . Las funciones son bases ortogonales para los respectivos espacios de deficiencia. Puesto que los espacios son unidimensionales, la única transformación unitaria permitida es multiplicar V₊ por un número e^iθ, así que las extensiones autoadjuntas se pueden parametrizar por la familia {e^iθ|θ ∈ [0,2π)}. El teorema asegura que el dominio de cada extension autoadjunta de Â₃ está dado por . En particular, nótese que para τ ∈ (),

Por tanto, recordando que a₊ = e^iθa_–, se tiene que (1). Nótese además que .

Pasemos ahora a determinar la misma familia de extensiones autoadjuntas directamente, sin hacer uso del teorema de von Neumann. El operador Â₃ posee extensiones autoadjuntas porque es simétrico. Por una observación previa, si el adjunto de dichas extensiones simétricas es a su vez simétrico, entonces el adjunto es autoadjunto y por tanto una extensión autoadjunta de Â₃. Nótese además que la condición Â₃ ⊂ , implica ^† ⊆ Â₃ = Â₁, por tanto las funciones en los dominios de , y ^† son absolutamente continuas y podemos usar argumentos basados en la integración por partes.

Un operador es una extensión simétrica de Â₃ si existe un conjunto () ⊇ (Â₃) con la propiedad de que para todo par de funciones ø, ∈ ()

Aplicando estas condiciones a funciones ø ∈ (), ∈ (Â₃), y después de integrar por partes se tiene . El primer término se hace cero debido a las condiciones impuestas sobre . Así que (11) se cumple si y solo si para todo ø ∈ (), . Una nueva aplicación de la fórmula de integración por partes muestra que para que una función ø esté en () sin estar en (Â₃), |ø(0)|² – |ø(1)|² = 0, lo que implica que ø(0) = e^iμø(1). Cuando se toma otra función , el mismo tipo de argumento exige que (1). Ahora, la condición (11) aplicada a y ø muestra que μ = . Así, las extensiones simétricas diferentes de Â₃ están parametrizadas por un solo parámetro μ ∈&91;0,2π).

Finalmente, determinemos el adjunto de cada extensión simétrica : considérese ø∈ () y τ ∈ (†). Integrando por partes vemos que se debe cumplir la condición ø(1)τ*(1) – e^–iμø(1)τ*(0) = Esto implica que τ(0) = e^iμτ(1) y por tanto τ ∈ (). Entonces, todas las extensiones simétricas de Â₃ son autoadjuntas y que (consistente con la aplicación directa del teorema de Neumann) están parametrizadas por la familia {e^iμ|μ∈[0,2π)}.

4.2. Hamiltoniano de una partícula libre en un intervalo finito

Consideremos el operador ₁ igual a con dominio absolutamente continuas. Si se consideran dos elementos arbitrarios ø y de (₁), encontramos

Los términos de frontera que aparecen en la integración por partes se anulan en (₁) y por lo tanto es simétrico en este dominio.

Un cálculo similar muestra que el operador con dominio es una extensión del operador ₁ con ₂⊆^†. El operador ₁ no es, por tanto, autoadjunto. Para determinar las extensiones autoadjuntas hallamos los espacios de deficiencia, soluciones de las ecuaciones diferenciales , en (₁^†).Como las soluciones de los espacios de deficiencia _+–

,

pertenecen al dominio de ₁^† los índices de deficiencia son n₊ = 2 = n_–. Esto asegura que ₁ posee una familia 4– paramétrica de extensiones autoadjuntas. Para emplear el teorema de los índices de deficiencia definimos los vectores v₊ y v_–, cuyas componentes son los elementos de una base ortonormal para ₊ y _–, respectivamente,

,

con , a=0,1. El dominio de la extensión autoadjunta caracterizada por es (Â_U) = {|+a₊•v₊+a_–•v_–} siendo ∈(Â), a_– =a+ y la matriz unitaria 2 X 2 más general.

en donde |α|²+|β|² = 1 y γ es real.

Las condiciones de frontera de la extensión autoadjunta correspondiente a . Para encontrar las extensiones autoadjuntas de ₁ vamos a escribir los términos de superficie como en donde la función F(x) puede escribirse como

,

siendo la matriz simpléctica . Si la función y su derivada se transforman como

,

en donde es una matriz 2 X 2 de entradas complejas, entonces la función ø(x) y su derivada se deben transformar de la misma manera (asegurando que coinciden el dominio del operador y el de su adjunto). Para que el término de superficie se anule es necesario que . Si escribimos los elementos de como A_ije^øij con A_ij y ø_ij reales, vemos que para que la anterior ecuación se satisfaga debe ser igual a e^iθ, en donde es una matriz real de determinante 1. Teniendo en cuenta los resultados anteriores podemos afirmar que los operadores _θ=(θ₁,θ₂,θ₃,θ₄) definidos por , con dominio

,

son autoadjuntos. Una parametrización conveniente para las matrices _θ es en donde a₀0 = cos(θ₂)cosh(θ₄),a₁ = sin(θ₂)cosh(θ₄),a₂=cos(θ₃)sinh(θ₄)a₃= sin(θ₃)sinh(θ₄),0≤θ₁,θ₂,θ₃,<2π.–∞<θ₄<∞. Es importante resaltar que cada conjunto de parámetros θ corresponde a una situación física diferente.

Conclusiones

En esta nota hemos mostrado que las nociones de operador autoadjunto y hermítico son diferentes para operadores que no son acotados, tales como el momento. Tal diferencia, que es una consecuencia de que los operadores no acotados solo pueden definirse en un subespacio del espacio de Hilbert, es importante para la descripción de los sistemas físicos. Los operadores hermíticos y autoadjuntos tienen propiedades diferentes. Mientras que los autovalores de los primeros son reales (si existen), solo los autovectores de operadores autoadjuntos forman una base del espacio de Hilbert; mientras que existe una base que diagonaliza operadores autoadjuntos que conmutan, no se puede afirmar lo mismo para operadores únicamente hermíticos ([10, Vol 1, pág. 272]). Adicionalmente, hemos expuesto la noción de extensiones autoadjuntas de un operador y hemos mostrado que un mismo operador hermítico puede tener infinitas extensiones autoadjuntas, cada una de las cuales describe un sistema físico diferente. Así, vemos que esta discusión no es una mera formalidad y que, por lo tanto, la inclusión de éste y otros temas similares en los cursos de mecánica cuántica está perfectamente justificada. Esperamos que esta nota haya no solo despertado la curiosidad del lector, sino que así mismo le haya permitido un acercamiento más profundo a la investigación moderna alrededor de este tema.

Referencias

[1]J. V. Neumann, Mathematical Foundations of Quantum Mechanics (Princeton University Press, 1955).

[2]P. A. M. Dirac, The Principles of Quantum Mechanics (Oxford University Press, 1982).

[3]A. Galindo and P. Pascual, Quantum mechanics I, Theoretical and Mathematical Physics (Springer—Verlag, Berlin, 1990).

[4]L. E. Ballentine, Quantum Mechanics: A Modern Development (World Scientific, Singapore, 1998).

[5]D. J. Griffiths, Introduction to Quantum Mechanics, 2nd ed. (Pearson Prentice Hall, 2004).

[6]I. Gohberg, S. Goldberg, and M. A. Kaashoek, Basic classes of linear operators (Birkhäauser, Basel, 2003).

[7]F. Gieres, Rep. Prog. Phys. 63, 1893 (2000).

[8] M. Stone and P. M. Goldbart, Mathematics for physics: a guided tour for graduate students (Cambridge University Press, Cambridge, UK, 2009).

[9]B. Voronov, D. Gitman, and I. Tyutin, Russ. Phys. J. 50, 853 (2007).

[10]M. Reed and B. Simon, Methods of Modern Mathematical Physics: Functional analysis, Vol. 1 and 2 (Academic Press, New York, 1980).

[11]D. M. Gitman, I. Tyutin, and B. Voronov, Self—adjoint Extensions in Quantum Mechanics, Progress in Mathematical Physics, Vol. 62 (Birkhäuser Boston, New York, 2012).

[12] G. Teschl, Mathematical methods in quantum mechanics: with applications to Schrödinger operators, Graduate studies in mathematics, Vol. 99 (American Mathematical Society, Providence, R.I., 2009).

¹Algunos libros de texto que son notables excepciones a esta práctica son las referencias [3] y [4].

²La inclusión de dominios se puede usar para convertir al conjunto de operadores lineales en un conjunto parcialmente ordenado, y se puede usar la notación A ≤ B.

³Un operador T es cerrado si para toda sucesión convergente f_n → f para la que Tf_n → F, f pertenece al dominio de T y F = Tf. Esta condición ha sido verificada en los ejemplos que siguen.