Método de Elementos Finitos Para la Ecuación de Reacción-Difusión en Medios Heterogéneos

Finite Element Method for the Reaction-Diffusion Equation in Heterogeneous Media

Se estudia el calculo eficiente de soluciones de un problema en reacción-difusión en dos dimensiones con énfasis en medios heterogéneos. Para obtener aproximaciones numéricas usamos el método de elementos finitos para una variable espacial combinada con una discretización de Euler. Nos enfocamos en la eficiencia de las soluciones de los sistemas lineales en cada paso de tiempo. Para esto usamos técnicas de descomposición de dominios que emplean precondicionadores desarrolladas en [4, 7] para problemas de difusión heterogéneos. Estas técnicas recientes incorporan ideas de los métodos de elementos finitos multiescala en la construcción de los precondicionadores. En particular, mostramos numéricamente que estas técnicas pueden ser usadas para las ecuaciones de reacción-difusión con difusión heterogénea. Para esto consideramos una adaptación, a medios heterogéneos, del modelo de Fisher. La adaptación consiste en cambiar el término difusivo homogéneo por un término heterogéneo e isotrópico. El tipo de coeficiente considerado, es un coeficiente con variación multiescala (varia en cualquier parte del dominio con ciertas escalas de tamaño) y con alto contraste (medido como el cociente entre el mayor y menor valor del coeficiente de difusión).

The efficient calculation of solutions of a problem in reaction-diffusion in two dimensions with emphasis on heterogeneous media is studied. To obtain numerical approximations we use the finite element method for a spatial variable combined with a Euler discretization. We focus on the efficiency of the solutions of the linear systems in each step of time. For this we use domain decomposition techniques that employ preconditioners developed in [4, 7] for heterogeneous diffusion problems. These recent techniques incorporate ideas from multiscale finite element methods in the construction of preconditioners. In particular, we show numerically that these techniques can be used for reaction-diffusion equations with heterogeneous diffusion. For this we consider an adaptation, to heterogeneous means, of the Fisher model. The adaptation consists of changing the homogeneous diffusive term by a heterogeneous and isotropic term. The type of coefficient considered is a coefficient with multiscale variation (it varies anywhere in the domain with certain size scales) and with high contrast (measured as the quotient between the highest and lowest value of the diffusion coefficient).