Solución numérica de la ecuación de onda en medios heterogéneos y aleatorios en dos dimensiones

Numerical solution of the wave equation in heterogeneous and random media in two dimensions

Cuando queremos modelar problemas físicos por medio de ecuaciones diferenciales, algunas aplicaciones no pueden ser descritas de forma determinística debido a las propiedades del medio. Entonces utilizamos herramientas de la teoría de probabilidad en las ecuaciones diferenciales parciales para dar una mejor predicción al comportamiento de los coeficientes de las ecuaciones. En este documento, estudiamos la ecuación de onda en dos dimensiones con coeficientes aleatorios que es un tipo de ecuación diferencial parcial hiperbólica, de la cual realizamos unas aproximaciones para obtener algunas estadísticas importantes del modelo. Como primer paso, mostramos el método KL para dar una aproximación del coeficiente que representa la velocidad de propagación de la onda. Es de interés conocer el valor esperado de las soluciones de la ecuación, calculada por medio del método Monte Carlo y como herramienta numérica utilizamos el método de elementos finitos combinado con el de diferencias finitas en la discretización temporal de la ecuación. Se muestran resultados numéricos del problema con distintos parámetros y algunos estudios de error para mostrar la convergencia de los métodos mostrados.

When we want to simulate physical problems by means of differential equations, some applications cannot be described in a deterministic way because of the properties of the environment. For this reason we use tools of the probability theory in the partial differential equations to give a better prediction of the behavior of the coefficients of the equations. In this document, we study the wave equation in two dimensions with random coefficients which is a type of hyperbolic partial differential equation, from which we perform some approximations to get some important statistics of the model. As a first step, we show the KL method to give an approximation of the coefficient that represents the propagation speed of the wave. It is interesting to know the expected value of the solutions of the equation, calculated by the Monte Carlo method and as a numerical tool we use the finite element method combined with the finite differences method in the temporary approximation of the equation. Numerical results of the problem are shown with different parameters and some error studies to show the effectiveness of the methods described.