A view of symplectic Lie algebras from quadratic Poisson algebras

Una mirada a las álgebras de Lie simplecticas desde las álgebras de Poisson cuadráticas

Using the concept of double extension, Benayadi [2] showed how to construct a new quadratic algebra (g(A), T) given a quadratic algebra (A, B). With both algebras and an invertible skew-symmetric algebra D over A, he endowed (A, B) with a simplectic structure through a bilinear form ω, obtaining a simplectic algebra (g(A), T, Ω). Our purpose in this short communication is to show the construction given by Benayadi and present the complete development of each one of his assertions. We remark that this communication does not have original results and it was made as a result of the undergraduated work titled "Construcción de álgebras de Lie simplécticas desde álgebras de Poisson cuadráticas"[5], which was awarded as the best mathematics under-graduated thesis in the XXVI Contest at Universidad Nacional de Colombia, Sede Bogotá. The work was written by the first author under the direction of the second author.

A partir del concepto de doble extensión, Benayadi [2] mostró cómo construir una nueva álgebra cuadrática (g(A), T), a partir de un álgebra cuadrática dada (A, B). Con estas dos álgebras y una derivación invertible anti-simétrica D sobre A, él dotó a (A, B) de una estructura simpléctica a traves de una forma bilineal ω, obteniendo así una álgebra simpléctica (g(A), T, Ω). Nuestro propósito en esta comunicación corta es mostrar la construcción dada por Benayadi y presentar el desarrollo completo de cada una de sus afirmaciones. Resaltamos que esta comunicación no tiene resultados originales, y además fue obtenida del trabajo de grado de pregrado titulado "Construcción de álgebras de Lie simplécticas desde álgebras de Poisson cuadráticas"[5], el cual resultó ganador del Concurso de Mejores Trabajos de Grado de Pregrado en su versión XXVI, en la Universidad Nacional de Colombia, Sede Bogotá. El trabajo fue realizado por el primer autor bajo la dirección del segundo autor.