Analysing transfer phenomena in osmotic evaporation

Análisis de los fenómenos de transferencia en el proceso de evaporación osmótica

Osmotic evaporation is a modification of traditional processes using membranes; by means of a vapour pressure differential, produced by a highly concentrated extraction solution, water is transferred through a hydrophobic membrane as vapour. This technique has many advantages over traditional processes, allowing work at atmospheric pressure and low temperatures, this being ideal for heat-sensitive products. This paper presents and synthetically analyses the phenomena of heat and mass transfer which occurs in the process and describes the models used for estimating the parameters of interest, such as flow, temperature, heat transfer rate and the relationships that exist amongst them when hollow fibre modules are used, providing a quick reference tool and specific information about this process.

La evaporación osmótica es una modificación de los procesos tradicionales que utilizan membranas; mediante un diferencial de presión de vapor, producido por una solución de extracción fuertemente concentrada, se transfiere agua solo en forma de vapor a través de una membrana que actúa como cuerpo hidrófobo. Este proceso tiene múltiples ventajas comparado con los procesos tradicionales, pues permite trabajar a presión atmosférica y baja temperatura, ideal para productos sensibles al calor. En este documento se presentan y analizan de forma sintética los fenómenos de transferencia de masa y calor del proceso y se describen los modelos usados para calcular parámetros de interés como flujos, temperaturas, coeficientes de transferencia y sus interrelaciones cuando se utilizan módulos de fibras huecas, con el fin de proveer una herramienta de consulta rápida y concreta.

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Freddy Forero Longas¹, Carlos Antonio Vélez Pasos²

¹ Ingeniero Agroindustrial, Universidad del Tolima. Estudiante de doctorado en Ingeniería de Alimentos. Universidad del Valle. freddy.forero@correounivalle.edu.co

² Doctor en Ingeniería de Alimentos, Universidad de Campinas, Brasil. Profesor titular, Universidad del Valle. carlos.velez@correounivalle.edu.co

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RESUMEN

Palabras clave: concentración, transferencia de masa, transferencia de calor, membrana hidrófoba, difusión.

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ABSTRACT

Keywords: concentration, mass transfer, heat transfer, hydrophobic membrane, diffusion.

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Recibido: febrero 3 de 2011 Aceptado: noviembre 20 de 2011

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Introducción

La evaporación osmótica (EO), una de las variantes de la destilación por membranas (DM), utiliza membranas hidrófobas cuyos poros se llenan con la fase gaseosa del fluido que se desea concentrar, lo que previene la penetración del agua, de tal modo que solo los componentes volátiles de la alimentación pueden ser transportados a través de la membrana (Sur et al., 2008). La diferencia de presión parcial de los líquidos que se encuentran separados por la membrana dentro del sistema es generalmente aceptada como la fuerza impulsora, cuyo valor depende de la temperatura y composición de las capas adyacentes a la superficie de la membrana; el gradiente de presión parcial puede formarse por las diferencias de temperatura y concentración (Bui et al., 2004; Gryta et al., 2005; Ravindra et al., 2008; Shen et al., 2008).

La DM se lleva a cabo de varios modos, según la forma de colectar el permeado, el mecanismo de transferencia de masa por la membrana y el origen de la fuerza impulsora, características que han sido utilizadas para generar la nomenclatura usada en estas técnicas. El término "evaporación osmótica" ha sido generalizado (Courel et al., 2000; Romero et al., 2003a) sin necesidad de mencionar las palabras "destilación por membranas", a fin de resaltar la marcada influencia de la concentración en el proceso. Algunos autores la denominan también destilación osmótica, concentración osmótica o destilación isotérmica (Petrotos et al., 2001). Esta técnica ha despertado bastante interés en el área del procesamiento de alimentos líquidos, como la concentración de jugos de frutas (Shaw et al., 2001; Vaillant et al., 2001; Valdes et al., 2009), vegetales, leche, café instantáneo, té y otros productos sensitivos al calor, al poder trabajar a presión atmosférica, temperatura ambiente y condiciones casi isotérmicas (Bailey et al., 2000; Nii et al., 2002), eliminando las reacciones de pardea-miento no enzimático y Maillard, degradación de color, sabor y pérdida de aromas, sumado a todo esto el bajo consumo energético.

Fenómenos de transporte

El elemento poroso de la membrana del sistema de EO se encuentra en contacto íntimo con los dos líquidos circulantes y la temperatura del fluido a concentrar es baja y cercana a la de la salmuera. Gracias a la hidrofobicidad del polímero la membrana no puede ser mojada por los líquidos, creando una interfaz vapor-líquido a la entrada de los poros; la diferencia en actividad de agua entre la solución acuosa y la salmuera se traduce en una diferencia de presiones de vapor, convirtiéndose en la fuerza impulsora para el transporte de agua en forma de vapor (figura 1a). El proceso de transporte de masa puede ser dividido en tres etapas: el paso inicial y final corresponde a la transferencia de agua desde la solución diluida por medio de la interfaz de evaporación y viceversa, desde la superficie de condensación hacia la salmuera; el paso intermedio es el movimiento en fase de vapor a través del material poroso (Romero et al., 2003b; Tha-nedgunbaworn et al., 2009). La diferencia de presión de vapor a través de la membrana se obtiene generalmente con soluciones de sales como NaCl, CaCl₂, MgCl₂, MgSO₄ (Gryta, 2001; Bandini et al., 2002; Bui et al., 2003) y algunos líquidos orgánicos como glicerol y poliglicoles (Alves et al., 2002; Celere et al., 2004; Celere et al., 2005), que en general presentan alta solubilidad, baja actividad de agua y alta tensión superficial.

Masa

El modelo básico para describir el sistema está dado por la ecuación (1) que relaciona el flux y la fuerza impulsora mediante una constante de proporcionalidad (coeficiente de transferencia de masa), la cual es considerada como permeabilidad de la membrana (Cassano et al., 2003; Alves et al., 2004).

Puesto que las condiciones existentes en la interfaz no siempre están disponibles, una representación más completa del proceso está dada por la ecuación (2), donde el coeficiente global K integra varias resistencias a la transferencia de masa (figura 1b).

La presión de vapor de agua a la entrada de los poros tanto de la solución diluida como de la salmuera está relacionada con la temperatura y actividad prevaleciente en la interfaz de la membrana; esta condición es muy útil al momento de calcular la permeabilidad (K), para lo cual se pueden usar las siguientes expresiones:

Mecanismos difusionales

Debido a que en los poros de la membrana se tiene aire proveniente del líquido alimentado que se encuentra cercano a la presión atmosférica, teóricamente solo dos mecanismos pueden estar involucrados en la transferencia de vapor, difusión de Knudsen y difusión molecular, de acuerdo con la teoría cinética de los gases (Thanedgunbaworn et al/., 2007a). El número de Knudsen (Kn) definido por la ecuación (5) es usado como un primer criterio para determinar cuál de los dos mecanismos de difusión puede ser el predominante, comparando la trayectoria media libre (X) de la molécula que se difunde con el radio de los poros en la membrana (Qtaishat et al., 2008).

Para un tamaño de poro relativamente pequeño, Kn ≥ 10, las moléculas tienden a colisionar frecuentemente con las paredes del poro y el modelo Knudsen (7) es el más conveniente. Por ejemplo, la trayectoria media libre para el vapor de agua es de 0,3 µm a presión atmosférica y 25 °C, valor que se encuentra en el rango de los tamaños típicos de poro en membranas usadas para EO (Varavuth et al., 2009).

Cuando los poros son grandes, Kn ≤ 0,01, las moléculas de gas colisionan más frecuentemente entre sí, la difusión molecular es considerada predominante (Celere et al/., 2002) y el flujo de vapor puede ser descrito por la ecuación (9), donde P_Alm es la presión media logarítmica dentro de los poros y D (coeficiente difusional) es función de la temperatura y la presión (11).

Finalmente, en la región de transición, 0,01 < Kn < 10, los dos fenómenos se combinan y en este caso la mejor opción es utilizar un modelo mixto (12) con una permeabilidad del tipo (13), en la cual se incluye el término P_Alm, que tiene en cuenta el efecto del aire presente en los poros (Chen et al., 2009).

Las ecuaciones anteriores deben manejarse con cuidado cuando se usan para propósitos predictivos debido a que cualquier membrana tiene una distribución más o menos amplia de tamaño de poro y formas irregulares, por lo que cálculos basados solo en el diámetro nominal son una estimación general de la permeabilidad actual de la membrana, debiendo este diámetro ser cuantificado experimentalmente (Koroknai et al., 2006).

Equilibrio líquido-vapor

Para el caso de la EO se estable un equilibrio líquido-vapor en las interfaces de la membrana hidrófoba tanto del lado del producto como de la salmuera; este equilibrio puede cambiar al ser afectado directamente por las propiedades físicas de las soluciones y las condiciones hidrodinámicas del módulo; la actividad de agua (a_w) se convierte un factor crítico dentro del proceso, cuyo cambio se puede conocer mediante la ecuación (14) (Bui et al., 2005a; Prausnitz et al., 2000).

donde el coeficiente de actividad (γ), puede ser determinado experimentalmente o por medio de modelos teóricos. El método Unifac modificado (Modified UNIquac Funtional-group Activity Coefficients) puede ser aplicado con buenos resultados en la alimentación cuando esta contiene gran cantidad de azúcares simples como sacarosa, glucosa, fructosa, los cuales se encuentran con frecuencia en jugos de frutas (Starzak et al., 2006; Gaida et al., 2006; Gharsallaoui et al., 2008).

Cuando las concentraciones iónicas en la salmuera son bajas la distancia media entre los iones es grande, en cuyo caso sólo son importantes las fuerzas electrostáticas de largo alcance; cuando las concentraciones son altas los iones comienzan a interactuar con fuerzas repulsivas (efecto de volumen excluido) y atractivas (Van der Waals). En esta situación el método de contribución de grupos ASOG (Analytical Solution of Groups) es muy acertado para predecir el coeficiente de actividad en soluciones formadas por solutos del tipo sal (NaCl, CaCl₂, KOH), bien sean binarias o multicomponentes (Huang et al., 2009).

Con estas metodologías el coeficiente de actividad es calculado usando tres términos: uno de combinación (ln y_i^C), el cual considera la forma y tamaño de cada grupo; otro residual (ln y_i^R), que suma las interacciones estéricas entre todos los grupos presentes en el líquido; y para el caso de la solución salina, en la ecuación 15 se adiciona un término (ln y_i^DH) que representa el efecto de las interacciones electrostáticas o teoría Debye-Huckel (Correa et al., 1997).

Coeficientes de transferencia

El flujo de agua por las capas de polarización tanto del lado de la alimentación como del permeado, puede ser expresado en su forma más sencilla mediante las ecuaciones (16) y (17), aunque algunos autores desprecian estas capas de polarización en casos donde la alimentación es solo agua y bajo condiciones en las cuales se pretende cuantificar otros parámetros de la membrana (Courel et al., 2001).

Si se tiene en cuenta la resistencia debida a la polarización en la EO, las concentraciones en las capas límites de la membrana son estimadas por el modelo simplificado expuesto en las ecuaciones (18) y (19), que no toma en cuenta el cambio de distribución de la capa a lo largo del módulo.

Al tratarse de módulos de fibras huecas pueden aplicarse modelos semiempíricos para predecir el coeficiente k_a, para lo cual el flujo de la alimentación dentro de la fibra puede asimilarse al que se presenta en una tubería. Por tal razón, la ecuación de Sieder-Tate y sus análogas para transferencia de masa - ecuaciones (20) y (21)- pueden ser aplicadas satisfactoriamente (Martínez-Díez et al., 2000).

Se han realizado varios estudios para generar modelos con la finalidad de estimar el coeficiente (k_p) por fuera de los fibras huecas -lado de la carcasa- (Wu et al., 2000; Gawronski, 2000; Lipnizki, 2001). Recientemente Thanedgunbaworn y cols. (2007b) desarrollaron una nueva expresión (22), con la cual lograron una mejor descripción del fenómeno, encontrando que el número de Reynolds es una función de la densidad de empaquetamiento ( ^Ø ).

Calor

El proceso de EO es considerado isotérmico siempre que no exista una diferencia de temperatura a través de la membrana. No obstante, debido al calor latente del cambio de fase ocurrido en las paredes la evaporación genera un ligero enfriamiento en la alimentación y la condensación calienta la salmuera, con lo cual la transferencia de masa está asociada con la de calor; esta diferencia de temperatura resultante se convierte en un decaimiento del gradiente de presión de vapor, con la consiguiente disminución de la fuerza impulsora (Courel et al., 2000). La figura 2 muestra el mecanismo de transferencia de calor como un conjunto de resistencias y un perfil de temperaturas bajo condiciones medias; las expresiones (24) y (25) representan el balance de calor en los diferentes compartimentos del sistema y el coeficiente total, respectivamente.

Este balance general de calor es aplicable tanto a módulos de membranas planas como de fibra hueca. La gran diferencia para estos dos sistemas radica en el cálculo de los coeficientes de transferencia, debido especialmente a las particularidades geométricas y características físicas como porosidad, conductividad, tortuosidad, colmatación y rugosidad (Drioli et al., 2005), entre otros, que afectan la magnitud de los coeficientes; sumado a esto se tienen las características hidrodinámicas diferentes, que generalmente favorecen la transferencia en módulos de fibras huecas (Martínez et al.,2006).

El flujo de calor generado a través de la membrana incrementa el diferencial de temperatura, proceso que continúa hasta que se alcanza un valor asintótico ΔT (26) donde el flux de calor convectivo (   ) es exactamente balanceado por el retroflujo de calor conductivo (  ), por tal motivo las membranas deben ser tan conductivas como sea posible. El efecto de ΔT∞ en la fuerza impulsora para el transporte de agua puede ser evaluado por la ecuación de Clausius-Klapeyron; la importancia de encontrar ΔT radica en que bajo esas condiciones de operación no se presentará flujo de calor a través del sistema (Gostoli, 1999). Cuando las temperaturas son controladas y mantenidas constantes en ambos líquidos, la diferencia de temperatura transmembrana ΔT está dada por la ecuación 27.

Para especificar las temperaturas en las interfaces de los líquidos y la superficie de la membrana es necesario modificar la ecuación 27, obteniéndose dos expresiones (28) y (29) que permiten calcular dichas temperaturas (Bui et al., 2005b; McCutcheon et al., 2008).

Coeficientes de transferencia

El coeficiente de transferencia de calor por conducción (h_m) en una fibra hueca se puede calcular por medio de la expresión (30), donde la conductividad térmica total de la membrana es una combinación de la mezcla de gases (aire y agua) que se encuentran en los poros y el polímero del que está fabricada.

El coeficiente de transferencia convectivo (h_a) al interior de membranas huecas puede cuantificarse mediante analogía con el flujo dentro de una tubería aplicándose los modelos de Sieder-Tate y Hausen que se definen según las ecuaciones (31) y (32), las cuales hacen uso del número de Nusselt para el cálculo de este parámetro (Martínez-Díez et al., 2000).

El cálculo del coeficiente (h_p) al exterior de las fibras ha sido poco estudiado para la evaporación osmótica debido a las complejidades geométricas e hidrodinámicas de los módulos utilizados en esta operación; algunos autores (Gryta et al., 2005) sugieren usar el modelo de Kern (33) que se aplica para intercambiadores de calor de coraza y tubos.

Conclusiones

La evaporación osmótica tiene múltiples ventajas, donde la más importante es su operación a bajas temperaturas. Es un proceso sencillo desde el punto de vista técnico, pero altamente complejo en el análisis matemático y físico de los fenómenos de transferencia que se presentan, con la particularidad de que son de carácter simultáneo. Algunos de los modelos matemáticos que se han descrito son generales, pero siempre representan el punto de partida en la búsqueda de parámetros más difíciles de cuantificar experimentalmente; ha de tenerse la mesura para saber hasta dónde son aplicables los resultados. El material de la membrana, las características hidrodinámicas de los módulos y las velocidades de flujo son los parámetros más determinantes en la magnitud de los coeficientes de transferencia tanto de calor como de masa, siendo una de las áreas en las que se debe investigar más en futuros trabajos para encontrar modelos específicos que permitan optimizar y hacer más robusto el proceso frente a la diversidad de materias primas, especialmente cuando se trata de materiales complejos como los alimentos líquidos.

Nomenclatura

A    Área (m^-2)

a    Actividad

C    Concentración molar soluto (mol l^-1)

c_p   Capacidad calorífica (J/K)

D    Coeficiente de difusión (m^-2 s^-1)

d_h   Diámetro hidráulico (m)

d    Diámetro (m)

d_p   Diámetro de poro (m)

H   Coeficiente total transferencia calor (W m^-2 K^-1)

H_v   Calor de vaporización (kJ/kg^-1)

h   Coeficiente transferencia calor (W m^-2 K^-1)

K   Coeficiente transferencia masa (kg m^-2 h^-1 Pa^-1)

k    Conductividad térmica (W/K.m)

k_b   Constante de Boltzmann (1,3807x10^-23 J K^-1)

L    Longitud (m)

M    Peso molecular (kg mol^-1)

m    Masa (kg)

N    Flux vapor, masa (kg m^-2 h^-1), (mol m^-2 s^-1).

P    Presión (Pa)

P*   Presión vapor saturado (Pa)

P_Alm Presión aire media logarítmica

Q    Flux de calor (W m^-2)

R    Constante de los gases (8,314J K^-1 mol^-1)

r    Radio de poro (m)

T   Temperatura (°C, K)

X   Fracción masa (p/p %)

Simbolos

ε    Porosidad

δ    Espesor (m)

Δ    Diferencia

γ    Coeficiente de actividad

λ   Trayectoria de media libre (m)

µ    Viscosidad dinamica (Pa s)

X    Tortuosidad

∞    Valor asintótico

Ø    Densidad empaquetamiento

ρ    Densidad(kg m^-3)

σ    Diametro medio de colisión

ν    Velocidad media (m s^-1)

Números adimensionales

Gz    Graetz

Kn    Knudsen

Nu    Nusselt

Pr    Prandtl

Re    Reynolds

Sc    Schmidt

Sh    Sherwood

Subíndices

a    Alimentación

i     Interno

o    Externo

m    Membrana

p    Permeado

w    Agua

k    Difusión Knudsen

M    Difusión molecular

Superíndices

k    Difusión Knudsen

M    Difusión molecular

m    Membrana

–    Promedio

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Freddy Forero Longas¹, Carlos Antonio Vélez Pasos²

¹ Agroindustrial Engineer, Universidad del Tolima.. Ph.D. student in Food Engineering. Universidad del Valle. freddy.forero@correounivalle.edu.co

² Ph.D. in Food Engineering, University o Universidad de Campinas, Brazil. Professor, Universidad del Valle. carlos.velez@correounivalle.edu.co

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ABSTRACT

Keywords: concentration, mass transfer, heat transfer, hydrophobic membrane, diffusion.

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Received: February 3th 2011 Accepted: November 20th 2011

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Introduction

Osmotic evaporation (OE), a variant of membrane distillation (MD), uses hydrophobic membranes whose pores are filled with the gas phase of fluid to be concentrated, thereby preventing water penetration in such a way that only the volatile components of food can be transported across a membrane (Sur et al., 2008). The difference in liquids' partial pressure separated by a membrane within a system is generally accepted as the driving force, whose value depends on the temperature and composition of the layers adjacent to the membrane surface. A partial pressure gradient can be formed by temperature and concentration differences (Bui et al., 2004; Gryta et al., 2005; Ravindra et al., 2008; Shen et al., 2008).

MD is carried out in several ways, according to how permeate is collected, the mechanism for mass transfer through a membrane and the origin of the driving force; such characteristics have given rise to the nomenclature used for these techniques. The term "osmotic evaporation" has been generalised (Courel et al., 2000; Romero et al., 2003a) without mentioning the words "membrane distillation" to highlight the strong influence of the concentration within the process. It has also been called osmotic distillation, osmotic concentration and isothermal distillation by some authors (Petrotos et al., 2001). This technique has aroused considerable interest in the area of processed food in liquid form, such as concentrated fruit juice concentration, vegetables, milk, instant coffee, tea and other heat-sensitive products (Shaw et al., 2001; Vaillant et al., 2001; Valdes et al., 2009) because it works at atmospheric pressure, low temperature and in almost isothermal conditions (Bailey et al., 2000; Nii et al., 2002), eliminating non-enzymatic browning and Maillard reactions, degradation of colour, flavour and aroma loss and low energy consumption.

Transport phenomena

An EO system's porous membrane element is in intimate contact with circulating liquids, feed temperature is low and close to that of brine. Due to a polymer's hydrophobicity, a membrane cannot be wetted by the liquid, creating a vapour-liquid interface at the entrance to the pores; the difference in water activity between aqueous and brine solution results in a difference in vapour pressure, becoming the driving force for water vapour transport (Figure 1a). Mass transport can be divided into initial and final steps corresponding to water transfer from the diluted solution through evaporation interface and vice versa from the condensing surface to the brine; an intermediate step involves the movement of vapour through porous material (Romero et al., 2003b; Thanedgunbaworn et al., 2009). Vapour pressure difference across a membrane is usually obtained with salts solutions, such as NaCl, CaCl₂, MgCl₂, MgSO₄ (Gryta, 2001; Bandini et al., 2002; Bui et al., 2003), and some organic liquids, such as glycerol and polyglycol (Alves et al., 2002; Celere et al., 2004; Celere et al., 2005) which generally have high solubility, low water activity and high surface tension.

Mass

The basic model for describing the system is given by equation (1) which relates flux and driving force, mass transfer coefficient being a proportionality constant, which is considered as membrane permeability (Cassano et al., 2003; Alves et al., 2004).

As conditions at the interface are not always available, a more complete representation of the process is given by equation (2), where the overall coefficient K integrates multiple resistance to mass transfer (Figure 1b).

Water vapour pressure at the entrance to the pores regarding both dilute solution and brine is related to temperature and prevailing activity in the membrane interface; this condition is very useful for calculating permeability (K), for which the following expressions can be used:

Diffusion mechanisms

Because air coming from fed fluid is close to atmospheric pressure in the membrane's pores, then theoretically only two mechanisms may be involved in the transfer of steam, Knudsen diffusion and molecular diffusion, according to the kinetic theory of gases (Thanedgunbaworn et al., 2007a). The Knudsen number (Kn) defined by equation (5) is used as a first criterion for determining which of the two diffusion mechanisms may be predominant, by comparing the mean free path (l) of the molecule that diffuses to the radius of the pores in the membrane. (Qtaishat et al., 2008):

For a relatively small pore size, Kn ³10, the molecules tend to collide frequently with the pore walls and the Knudsen model (7) is the most convenient one to use. For example, the mean free path for water vapour is 0.3 mm at atmospheric pressure and 25°C, a value within the range of pore sizes in membranes typically used for OE (Varavuth et al., 2009):

When the pores are large, Kn < 0.01, the gas molecules collide more frequently with each other, molecular diffusion is considered predominant (Celere et al/., 2002) and vapour flow can be described by equation (9), where P_Alm is the logarithmic mean pressure within the pores and D (diffusion coefficient) is a function of temperature and pressure (11):

The two phenomena become combined in the transition region, 0.01 < Kn < 10, and the best option in this case is to use a mixed model (12) having type   permeability (13) which includes the term P_Alm that takes into account the effect of air in the pores (Chen et al., 2009):

The above equations must be handled with care when used for predictive purposes because any membrane has a more or less broad distribution of pore size and irregular shapes, so that calculations based only on nominal diameter are a general estimate of a membrane's current permeability. This diameter must be measured experimentally (Koroknai et al., 2006).

Vapour - liquid equilibrium

A liquid-vapour equilibrium is established in the membrane interface for the OE on both the product and brine sides; this equilibrium may change, being directly affected by the solutions' physical properties and the module's hydrodynamic conditions. Water activity (w_a) becomes a critical factor in the process and can be accessed by equation (14) (Bui et al., 2005a; Prausnitz et al., 2000):

where activity coefficient (γ) can be determined experimentally or by theoretical models. The modified UNIquac functional-group activity coefficients (UNIFAC) method can be successfully applied to the feed side when it contains large amounts of simple sugars, such as sucrose, glucose, fructose, which are often found in fruit juice (Starzak et al., 2006; Gaida et al., 2006; Gharsallaoui et al.,2008).

When ion concentrations in brine are low, the average distance between ions is large, in which case only longrange electrostatic forces are important; when concentrations are high, ions start interacting with repulsive (excluded volume effect) and attractive forces (Van der Waals). For this situation, the analytical solution of groups (ASOG) contribution method is very successful in predicting solutes' activity coefficient in solutions formed by salt type (NaCl, CaCl₂, KOH), whether binary or multi-component (Huang et al., 2009).

The activity coefficient is calculated using a combination (ln g_i^C) considering each group's shape and size and a residual (in g_i^R) that adds steric interactions between all the groups present in the liquid. In the case of the saline solution, a term (ln g_i^DH) is added to equation 15 representing the effect of electrostatic or Debye- Huckel theory interactions (Correa et al., 1997):

Transfer coefficients

Both feed and permeate can be expressed in their simplest form by equations (16) and (17) regarding the flow of water through polarisation layers, although some authors disregard these polarisation layers for cases in which food is just water and in conditions where it is intended to quantify other membrane parameters (Courel et al., 2001):

Taking resistance due to polarisation during OE into account, concentrations in membrane boundary layers are estimated by the simplified model presented in equations (18) and (19), which does not take into account the change in the distribution of the layer throughout the module:

Semi-empirical models can be applied to predict coefficient k_a for hollow fibre modules for which the power flow inside the fibre can be likened to that presented in a pipe. The Sieder-Tate equation and its analogues for mass transfer, equations (20) and (21), can thus be successfully applied (Martínez-Díez et al., 2000):

Several studies have produced models for estimating the k_p coefficient outside hollow fibres (shell side) (Wu et al., 2000; Gawronski, 2000; Lipnizki, 2001). Thanedgunbaworn et al., (2007b) have recently developed a new expression (22) to give a better description of the phenomenon, finding that Reynolds number is a function of packing density (^Ø ).

Heat

The OE process is considered isothermal, provided that there is no temperature difference across the membrane. However, due to the latent heat from phase change occurring in the walls, evaporation results in a slight cooling of food, and condensation heats the brine; mass transfer is thus associated with heat. The resulting temperature difference causes decay of the vapour pressure gradient, with consequent reduction in driving force (Courel et al., 2000). Figure 2 shows heat transfer mechanisms as a set of resistances and a temperature profile in average conditions; expressions (24) and (25) represent the heat balance in the system's different compartments and total coefficient, respectively.

Such overall heat balance not only applies to flat membrane modules but to hollow fibre. The big difference for both systems is the calculation of transfer coefficients, especially due to the specific geometric and physical characteristics such as porosity, conductivity, tortuosity, fouling and roughness (Drioli et al., 2005) affecting coefficient magnitude. Different hydrodynamic characteristics may also favour transfer in hollow fibre modules (Martínez et al., 2006).

Heat flow through a membrane increases the temperature differential; such process continues until it reaches an asymptotic value DT (26) where the convective heat flux (  ) is exactly balanced by conductive heat backflow (  ). The membranes should thus be as conductive as possible. The effect of DTT∞ on the driving force for water transport can be evaluated by the Clausius-Klapeyron equation; the importance of finding T arises from the fact that there will be no heat flow through the system in these operating conditions (Gostoli, 1999). Transmem-brane temperature difference DT is given by Eq (27) when temperatures are controlled and kept constant in both liquids:

Equation (27) has to be modified to specify the temperatures at the liquid interfaces and membrane surface for obtaining two expressions (28) and (29) that calculate these temperatures (Bui et al., 2005b; McCutcheon et al., 2008):

Transfer coefficients

The coefficient of heat transfer by conduction (h_m) in a hollow fibre can be calculated by using expression (30) where the membrane's total thermal conductivity is a combination of the gas mixture (air and water) found in the pores and the polymer of which it is made:

The convective heat transfer coefficient (h_a) within hollow membranes can be quantified by analogy with the flow in a pipe, applying the Sieder-Tate and Hausen models defined by equations (31) and (32), which make use of the Nusselt number for calculating this parameter (Martínez-Díez et al., 2000):

The calculation for the coefficient (h_p) to the outside of the fibres has been little studied for osmotic evaporation, due to the geometric and hydrodynamic complexity of the modules used in this operation; some authors (Gryta et a/., 2005) have suggested using Kern's model (33) applied to shell and tube heat exchangers.

Conclusions

Osmotic evaporation has multiple advantages; the most important is that it operates at low temperatures. It is a simple process from the technical point of view; however, it is highly complex for mathematical and physical analysis of involved simultaneous transfer phenomena. Some general mathematical models have been described but they are always the starting point for parameters which are more difficult to quantify experimentally; care must be used in stating how far the results are applicable . The membrane material, hydrodynamic characteristics of the modules and flow rates are the most crucial parameters regarding the magnitude of the transfer coefficients for both heat and mass, this being one of the areas which should be further investigated in future work to find specific models for optimising and making the process more robust against raw materials' diversity, especially in the case of complex materials such as liquid food.

Nomenclature

A    Area (m^-2)

a    Activity

C    Solute molar concentration (mol l^-1)

c_p    Heat capacity (J/K)

D     Diffusion coefficient (m^-2 s^-1)

d_h    Hydraulic diameter (m)

d     Diameter (m)

d_p    Pore diameter (m)

H    Total heat transfer coefficient (W m^-2 K^-1)

H_v   Heat of vaporization (kJ/kg^-1)

h    Heat transfer coefficient (W m^-2 K^-1)

K    Mass transfer coefficient (kg m^-2 h^-1 Pa^-1)

k    Thermal conductivity (W/K.m)

k_b    Boltzmann constant (1.3807x10^-23 J K^-1)

L     Length (m)

M    Molecular weight (kg mol^-1)

m    Mass (kg)

N    Flux vapour, mass (kg m^-2 h^-1), (mol m^-2 s^-1).

P    Pressure (Pa)

P^*   Saturated vapour pressure (Pa)

P_Alm  Logarithmic mean air pressure

Q    Heat flux (W m^-2)

R    Gas constant (8.314J K^-1 mol^-1)

r    Pore radius (m)

T   Temperature (°C, K)

X   Mass fraction (p/p %)

Symbols

ε    Porosity

δ    Thickness (m)

Δ    Difference

γ    Activity coefficient

λ    Mean free path (m)

µ    Viscosidad dinamica (Pa s)

X    Tortuosidad

∞    Valor asintótico

Ø    Densidad empaquetamiento

ρ    Densidad(kg m^-3)

σ    Diametro medio de colisión

ν    Velocidad media (m s^-1)

Números adimensionales

Gz    Graetz

Kn    Knudsen

Nu    Nusselt

Pr    Prandtl

Re    Reynolds

Sc    Schmidt

Sh    Sherwood

Subíndices

a    Alimentación

i    Interno

o    Externo

m    Membrana

p    Permeado

w    Agua

k     Difusión Knudsen

M    Difusión molecular

Superíndices

k    Difusión Knudsen

M    Difusión molecular

m    Membrana

–    Promedio

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